1996-全国卷理-04 单-复数的幂运算

本题导读

本题考查复数的幂运算，以及复数的三角形式与指数形式（欧拉公式）。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 复数 $\frac{(2+2\text{i}{)}^4}{(1-\sqrt{3}\text{i}{)}^5}$ 等于 ()

A. $1+\sqrt{3}\text{i}$　　　B. $-1+\sqrt{3}\text{i}$　　　　C. $1-\sqrt{3}\text{i}$　　　　D. $-1-\sqrt{3}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

化简分子 $(2+2\text{i}{)}^4$：

• 方法一（代数法）：提取常数 2 变形为 $2^4(1+\text{i}{)}^4$。由于 $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$ 为纯虚数，二次平方即可快速降幂。
• 方法二（几何法）：将 $2+2\text{i}$ 化为三角形式，模长为 $2\sqrt{2}$，辐角为 $\frac{\pi }{4}$，利用棣莫弗定理求 4 次方。 化简分母 $(1-\sqrt{3}\text{i}{)}^5$：
• 提取模长 2，将原式变形为 $2^5{\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)}^5$。
• 识别出括号内为单位圆上的特殊旋转因子，其辐角为 $-\frac{\pi }{3}$（或 $\frac{5\pi }{3}$）。利用棣莫弗定理将 5 次幂转化为辐角的 5 倍操作。 分式合并：将分子和分母的化简结果相除，最后进行分母实数化或辐角相减，得到标准直角坐标形式 $a+b\text{i}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数结合特殊角化简法（推荐）

1. 计算分子 $N$： $N=(2+2\text{i}{)}^4=[2(1+\text{i}){]}^4=2^4\cdot (1+\text{i}{)}^4$ 因为 $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2=1+2\text{i}-1=2\text{i}$，所以： $(1+\text{i}{)}^4=[(1+\text{i}{)}^2{]}^2=(2\text{i}{)}^2=4{\text{i}}^2=-4$ 代入得： $N=16\times (-4)=-64$

2. 计算分母 $D$： 将 $1-\sqrt{3}\text{i}$ 化为三角形式，其模长为 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$。 $1-\sqrt{3}\text{i}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=2\left[\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right]$ 根据棣莫弗定理，其 5 次幂为： $D=(1-\sqrt{3}\text{i}{)}^5=2^5\left[\cos \left(-\frac{5\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{5\pi }{3}\right)\right]$ 利用诱导公式，$-\frac{5\pi }{3}=2\pi -\frac{5\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$： $D=32\left(\cos \frac{\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{\pi }{3}\right)=32\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=16(1+\sqrt{3}\text{i})$

3. 分式相除化简： $\frac{N}{D}=\frac{-64}{16(1+\sqrt{3}\text{i})}=\frac{-4}{1+\sqrt{3}\text{i}}$ 分子、分母同乘以分母的共轭复数 $1-\sqrt{3}\text{i}$ 展开分母实数化： $\frac{-4(1-\sqrt{3}\text{i})}{(1+\sqrt{3}\text{i})(1-\sqrt{3}\text{i})}=\frac{-4(1-\sqrt{3}\text{i})}{1^2-(\sqrt{3}\text{i}{)}^2}=\frac{-4(1-\sqrt{3}\text{i})}{1+3}=\frac{-4(1-\sqrt{3}\text{i})}{4}$ 约去系数 4 得： $-(1-\sqrt{3}\text{i})=-1+\sqrt{3}\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的代数除法运算、棣莫弗定理 $[\rho (\cos \theta +\text{i}\sin \theta ){]}^n={\rho }^n(\cos n\theta +\text{i}\sin n\theta )$ 的应用。 核心方法：“模幅式与代数式混合变换”。分子采用代数完全平方性质可以规避分数辐角；分母采用极坐标形式可以规避高次二项式定理展开，两相结合是运算效率最高的策略。 避坑指南：

• 求解 $(2\text{i}{)}^2$ 时易漏掉虚数单位的平方项，错算成 $4\text{i}$ 或 $+4$。牢记 ${\text{i}}^2=-1$。
• 在处理分母的辐角 $-\frac{5\pi }{3}$ 时，向第一象限正角 $\frac{\pi }{3}$ 转化时符号极易看错，需注意余弦函数为偶函数 $\cos (-\theta )=\cos \theta$，正弦函数为奇函数 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于复数高级运算的经典必考题型，源自教材中“复数的三角形式及其运算”一章节的课后拔高练习题，属于利用几何性质优化代数运算的典型范例。 结论推广： 对于一类含有特定底数的复数高次幂分式问题，若定义两个核心旋转算子 ${\omega }_1=1+\text{i}=\sqrt{2}{e}^{\text{i}\frac{\pi }{4}}$，${\omega }_2=1-\sqrt{3}\text{i}=2e^{-\text{i}\frac{\pi }{3}}$，则其通用幂次组合可写为： $\frac{(2{\omega }_1{)}^n}{{\omega }_2^m}=\frac{2^{\frac{3n}{2}}\cdot e^{\text{i}\frac{n\pi }{4}}}{2^m\cdot e^{-\text{i}\frac{m\pi }{3}}}=2^{\frac{3n}{2}-m}\cdot e^{\text{i}\left(\frac{n\pi }{4}+\frac{m\pi }{3}\right)}$ 本题验证：将本题参数 $n=4,m=5$ 代入该推广的指数模型中： $\text{原式}=2^{\frac{12}{2}-5}\cdot e^{\text{i}\left(\frac{4\pi }{4}+\frac{5\pi }{3}\right)}=2^1\cdot e^{\text{i}\left(\pi +\frac{5\pi }{3}\right)}=2\cdot e^{\text{i}\frac{8\pi }{3}}$ 因为 $\frac{8\pi }{3}=2\pi +\frac{2\pi }{3}$，所以其对应复数为 $2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{2\pi }{3}\right)=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=-1+\sqrt{3}\text{i}$。利用欧拉公式展开的统一推广模型在处理任意高次幂复数分式时具有极强的通用性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根
• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1999-上海文-19 解-复数相等与模的范围