1996-全国卷理-02 单-指数函数与对数函数的图象

本题导读

本题考查指数函数的图像与性质，以及对数函数的图像与性质。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 当 $a>1$ 时，在同一坐标系中，函数 $y=a^{-x}$ 与 $y={\log }_{a}x$ 的图象 ()

🔍【思路分析】

破题导航

分析指数函数 $y=a^{-x}$：将函数改写为 $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$。由于已知 $a>1$，可得底数 $0<\frac{1}{a}<1$，由此判定其单调性及定点。 分析对数函数 $y={\log }_{a}x$：由于已知底数 $a>1$，直接判定其单调性及定点。 综合单调性排除：结合两个函数的单调性（递增或递减）和它们在坐标轴上的截距定点，比对选项得出正确结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

分析指数函数 $y=a^{-x}$ 的图像特征 原式可变形为： $y=(a^{-1}{)}^x={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ 因为 $a>1$，所以其底数满足 $0<\frac{1}{a}<1$。 根据指数函数的性质，当底数在 $(0,1)$ 之间时，函数在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递减的。 且当 $x=0$ 时，$y=1$，即该指数函数图象必过定点 $(0,1)$。 据此单调性可排除 (B) 和 (C)。

分析对数函数 $y={\log }_{a}x$ 的图像特征 因为已知底数 $a>1$， 根据对数函数的性质，当底数大于 1 时，函数在定义域 $(0,+\infty )$ 上是严格单调递增的。 且当 $x=1$ 时，$y=0$，即该对数函数图象必过定点 $(1,0)$。 据此单调性可排除 (D)（(D) 选项中的对数曲线呈递减趋势）。

综合锁定正确选项 综合上述分析：

• 指数曲线 $y=a^{-x}$ 应当是过点 $(0,1)$ 的单调递减曲线；
• 对数曲线 $y={\log }_{a}x$ 应当是过点 $(1,0)$ 的单调递增曲线。

(A) 选项中的两条曲线完全符合上述单调性及定点特征。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数 $y=a^x$ 与对数函数 $y={\log }_{a}x$ 在底数 $a>1$ 和 $0<a<1$ 两种情况下的单调性及定点位置。 核心方法：“基准底数判别法”。将所有不规范的指数变形（如 $a^{-x}$）归一化为以 $x$ 为正幂的标准形式，以便直接套用底数分类法则。 避坑指南：

• 负号盲目陷阱：极易看到 $a>1$ 就想当然地认为指数函数也是单调递增的，从而错选 (B)。必须注意自变量前的负号会让整个图象关于 $y$ 轴发生水平翻转，使原先的递增变为递减。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于基本初等函数图像板块的入门考题，直接源自教材中“指数函数”与“对数函数”基本概念章末的经典读图选择题。 结论推广： 在平面直角坐标系中，关于函数 $y=a^{-x}$（即 $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$）与 $y={\log }_{a}x$ 的图像单调性对应关系可归纳为互逆双消律：

• 无论 $a>1$ 还是 $0<a<1$，这两条曲线的单调性永远相反。
• 当 $a>1$ 时，指数减，对数增（本题模型）；
• 当 $0<a<1$ 时，指数增，对数减（对应 (C) 选项模型）。 掌握这一对立统一的单调性特征，无需具体计算定点即可在考场上实现秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-02 单-指数函数与绝对值函数的图象
• 1998-上海理-13 单-对数函数图象的象限
• 1996-全国卷文-02 单-指数函数与对数函数的图象