1996-全国卷文-22 解-三角形的角与三角恒等变形

本题导读

本题考查三角形的角与三角恒等变形。核心在于设 $u=\frac{A+C}{2}$、$v=\frac{A-C}{2}$ 把条件化为关于 $\cos v$ 的方程。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 已知 $△ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 满足：$A+C=2B$，$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}=-\frac{\sqrt{2}}{\cos B}$，求 $\cos \frac{A-C}{2}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $A+C=2B$ 及内角和求 $B$。
2. 设 $u=\frac{A+C}{2}$、$v=\frac{A-C}{2}$，用和差化积把条件化为关于 $\cos v$ 的方程。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$。由 $A+C=2B$ 得 $3B=\pi$，故 $B=\frac{\pi }{3}$，且 $u=\frac{A+C}{2}=\frac{\pi }{3}$。令 $v=\frac{A-C}{2}$，则 $|v|<\frac{\pi }{3}$，故 $\cos v>0$。 由和差化积，$\cos A+\cos C=2\cos u\cos v=\cos v$（因 $u=\frac{\pi }{3}$，$2\cos u=1$），且 $\cos A\cos C=\frac{\cos (A+C)+\cos (A-C)}{2}=\frac{\cos \frac{2\pi }{3}+\cos 2v}{2}=\frac{\cos 2v-\frac{1}{2}}{2}$。 于是 $\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}=\frac{\cos A+\cos C}{\cos A\cos C}=\frac{\cos v}{\frac{\cos 2v-\frac{1}{2}}{2}}=\frac{2\cos v}{\cos 2v-\frac{1}{2}}=\frac{4\cos v}{4{\cos }^{2}v-3}$。 又 $\cos B=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，题设给 $\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}=-\frac{\sqrt{2}}{\cos B}=-2\sqrt{2}$。令 $c=\cos v>0$，则 $\frac{4c}{4c^2-3}=-2\sqrt{2}$，即 $4\sqrt{2}{c}^2+2c-3\sqrt{2}=0$。解得 $c=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $c=-\frac{3\sqrt{2}}{4}$（舍去，因 $c>0$）。故 $\cos \frac{A-C}{2}=\cos v=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形的角与三角恒等变形

核心方法：$A+C=2B$ 且 $A+B+C=\pi$ 得 $B=\frac{\pi }{3}$；设 $u=\frac{A+C}{2}=\frac{\pi }{3},v=\frac{A-C}{2}$，由 $\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}=-\frac{\sqrt{2}}{\cos B}$ 化得 $\frac{4\cos v}{4{\cos }^{2}v-3}=-2\sqrt{2}$，解得 $\cos v=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：和差化积设元解方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材和差化积

结论推广：一般地，设 $\frac{A\pm C}{2}$ 为元化简

方法推广：和差化积设元

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-21 解-正弦定理与和差化积
• 1998-上海文-17 解-二倍角与诱导公式求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值