1996-全国卷文-08 单-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值，以及用辅助角公式把两个三角函数合并。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 当 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$，函数 $f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$ 的 ()

A.最大值是 $1$，最小值是 $-1$　　B.最大值是 $1$，最小值是 $-\frac{1}{2}$　　C.最大值是 $2$，最小值是 $-2$　　D.最大值是 $2$，最小值是 $-1$

🔍【思路分析】

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1. 用辅助角公式把 $f(x)$ 化为 $2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。
2. 由 $x$ 范围确定相位范围，求最值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。当 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 时，$-\frac{\pi }{6}\le x+\frac{\pi }{3}\le \frac{5\pi }{6}$。正弦在此区间最大值为 $1$（在 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{6}$ 处），故最大值 $2$；最小值为 $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$，故最小值 $2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$f(x)=2\sin (x+\frac{\pi }{3})$，$x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 时 $x+\frac{\pi }{3}\in [-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}]$，最大 $2$、最小 $2\sin (-\frac{\pi }{6})=-1$，选 D

避坑指南：辅助角后看相位区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材辅助角公式

结论推广：一般地，$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

方法推广：辅助角看相位区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-02 填-三角函数的最值
• 1999-上海文-06 填-三角函数的最小正周期
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值