1996-上海理-20 解-抛物线的实际应用

本题导读

本题考查二次函数轨迹的实际应用，核心在于由过定点定参数、由落点区间解不等式。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点 $A(0,9)$，其轨迹方程为 $y=a{x}^2+c$（$a<0$），$D=(6,7)$ 为 $x$ 轴上的给定区间.

(1)为使物体落在 $D$ 内，求 $a$ 的取值范围；

(2)若物体运动时又经过点 $P(2,8.1)$，问它能否落在 $D$ 内？并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由过点 $A(0,9)$ 定 $c$，令 $y=0$ 求落点横坐标。
2. 由落点在 $(6,7)$ 内解 $a$ 的范围。
3. 由过点 $P$ 定 $a$，检验是否在范围内。

✅【答案】

Success

(1) $-\frac{1}{4}<a<-\frac{9}{49}$

(2) 能落在 $D$ 内

✍【详细解析】

Abstract

(1)由点 $A$ 的坐标为 $(0,9)$，得 $c=9$，即轨迹方程为 $y=a{x}^2+9$。令 $y=0$，得 $a{x}^2+9=0$，即 $x^2=-\frac{9}{a}$。由题意 $6<\sqrt{-\frac{9}{a}}<7$，解得 $-\frac{1}{4}<a<-\frac{9}{49}$。 (2)若物体又经过点 $P(2,8.1)$，则 $8.1=4a+9$，解得 $a=-\frac{9}{40}$。因为 $-\frac{1}{4}<-\frac{9}{40}<-\frac{9}{49}$，所以物体能落在 $D$ 内。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的实际应用

核心方法：(1) $y=a{x}^2+9$，令 $y=0$ 得 $x^2=-\frac{9}{a}$，$6<\sqrt{-\frac{9}{a}}<7$ 即 $36<-\frac{9}{a}<49$，得 $-\frac{1}{4}<a<-\frac{9}{49}$；；(2) 过 $P(2,8.1)$ 得 $8.1=4a+9$，$a=-\frac{9}{40}$，因 $-\frac{1}{4}<-\frac{9}{40}<-\frac{9}{49}$，能落在 $D$ 内

避坑指南：待定系数 + 区间判断

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二次函数的应用

结论推广：一般地，待定系数求参数并判断区间

方法推广：待定系数 + 区间判断

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-18 解-抛物线的实际应用
• 1998-上海理-21 解-三次函数的应用
• 1996-全国卷文-24 解-增长率的实际应用题