1996-上海理-18A 填-旋转体的体积比

本题导读

本题考查旋转体的体积比，以及圆锥旋转体的体积计算。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）如图，在正三角形 $ABC$ 中，$E$，$F$ 依次是 $AB$，$AC$ 的中点，$AD\perp BC$，$EH\perp BC$，$FG\perp BC$，$D$，$H$，$G$ 为垂足，若将正三角形 $ABC$ 绕 $AD$ 旋转一周所得的圆锥的体积为 $V$，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与 $V$ 的比值是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析旋转后各部分的几何体。
2. 用体积比计算阴影部分体积。

✅【答案】

Success

$\frac{5}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

正三角形 $ABC$ 绕 $AD$ 旋转得圆锥，设底面半径 $R$、高 $h$，则 $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$。$E,F$ 为中点，$EH\perp BC$、$FG\perp BC$，阴影部分旋转后是圆锥（大圆锥）挖去两个关于 $AD$ 对称的小圆锥。由相似关系，阴影旋转体的体积为 $\frac{5}{8}V$，故比值为 $\frac{5}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的体积比

核心方法：圆锥体积 $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$，阴影旋转体是圆锥去两个小圆锥，体积比 $\frac{5}{8}$

避坑指南：旋转体体积作比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材旋转体

结论推广：一般地，旋转体体积作比

方法推广：旋转体体积作比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-07 单-圆柱与倒圆锥的体积
• 1998-上海理-05 填-正四面体的体积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积