1996-上海理-15B 填-向量的数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及解向量方程组。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）已知 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{i}-8\mathbf{j}$，$\mathbf{a}-\mathbf{b}=-8\mathbf{i}+16\mathbf{j}$.那么 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由两式相加、相减解出 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$。
2. 求数量积。

✅【答案】

Success

$-63$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{i}-8\mathbf{j}$、$\mathbf{a}-\mathbf{b}=-8\mathbf{i}+16\mathbf{j}$，相加得 $2\mathbf{a}=-6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$，即 $\mathbf{a}=-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$；相减得 $2\mathbf{b}=10\mathbf{i}-24\mathbf{j}$，即 $\mathbf{b}=5\mathbf{i}-12\mathbf{j}$。故 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(-3)\times 5+4\times (-12)=-15-48=-63$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的数量积

核心方法：两条式子把”和向量、差向量”当已知，解二元一次方程组即得 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$。本题还可以不解出单个向量：直接用平方差 $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2-(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^2=4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，一步得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{68-320}{4}=-63$。

避坑指南：相减那一步要对准 $\mathbf{b}$ 的系数——两式相减得的是 $2\mathbf{b}$，漏掉除以 $2$ 会让 $\mathbf{b}$ 整整大一倍，数量积随之全错；另注意 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 是正交单位向量，写成坐标即 $(2,-8)$、$(-8,16)$，不必再带字母。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：早期高考常把 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 直接写在式子里，考的是”能不能把它当普通坐标处理”。如今的题多已改写成坐标形式，考点没有变。

结论推广：设 $\mathbf{m}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$、$\mathbf{n}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$，则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{|\mathbf{m}{|}^2-|\mathbf{n}{|}^2}{4}$；逆过来，$|\mathbf{m}{|}^2+|\mathbf{n}{|}^2=2\left(|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2\right)$，正是平行四边形两对角线那条恒等式。

方法推广：“和差互求”是线性运算的常规套路：已知两个组合向量，一般都能反解出原来两个向量，再算数量积、模、夹角都不会卡住。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-14B 填-向量垂直求参数
• 1999-上海理-08 填-向量的旋转坐标变换
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积