1996-上海理-11 填-三角方程的解

本题导读

本题考查三角方程的解，以及由自变量范围确定解。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 方程 $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{3}$ 在 $[\pi ,2\pi ]$ 上的解是 $x=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\frac{x}{2}$ 的范围确定解。
2. 用反三角函数表示解。

✅【答案】

Success

$2\pi -2\arcsin \frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\in [\pi ,2\pi ]$ 时，$\frac{x}{2}\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$。由 $\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{3}$，在 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上 $\frac{x}{2}=\pi -\arcsin \frac{1}{3}$，故 $x=2\pi -2\arcsin \frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程的解

核心方法：$\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{3}$，$\frac{x}{2}\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 时 $x\in [\pi ,2\pi ]$，$\frac{x}{2}=\pi -\arcsin \frac{1}{3}$，故 $x=2\pi -2\arcsin \frac{1}{3}$

避坑指南：由范围取正弦的解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角方程

结论推广：一般地，由自变量范围取方程的解

方法推广：由范围取正弦的解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-08 填-三角方程的解的个数
• 1998-上海文-02 填-三角函数的最值
• 2004-上海卷文-14 单-三角方程解集