1996-上海文-15B 填-向量的数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及解向量方程组。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） （选做题，A 组与 B 组二选一）已知 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{i}-8\mathbf{j}$，$\mathbf{a}-\mathbf{b}=-8\mathbf{i}+16\mathbf{j}$.那么 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由两式相加、相减解出 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$。
2. 求数量积。

✅【答案】

Success

$-63$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{i}-8\mathbf{j}$、$\mathbf{a}-\mathbf{b}=-8\mathbf{i}+16\mathbf{j}$，相加得 $2\mathbf{a}=-6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$，即 $\mathbf{a}=-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$；相减得 $2\mathbf{b}=10\mathbf{i}-24\mathbf{j}$，即 $\mathbf{b}=5\mathbf{i}-12\mathbf{j}$。故 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(-3)\times 5+4\times (-12)=-15-48=-63$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的数量积

核心方法：$\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{i}-8\mathbf{j}$，$\mathbf{a}-\mathbf{b}=-8\mathbf{i}+16\mathbf{j}$，相加得 $\mathbf{a}=-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$，相减得 $\mathbf{b}=5\mathbf{i}-12\mathbf{j}$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-15-48=-63$

避坑指南：解向量方程组求数量积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材向量的数量积

结论推广：一般地，解向量方程组求数量积

方法推广：解向量方程组求数量积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-14B 填-向量垂直求参数
• 1999-上海理-08 填-向量的旋转坐标变换
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积