本题导读
本题考查空间线面垂直的判定与性质、棱锥与圆柱的体积公式。核心在于几何逻辑推导法、空间向量坐标法（可选）的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1995年全国卷(理)） 如图，圆柱的轴截面 是正方形，点 在底面的圆周上，， 是垂足.
(1) 求证：；
(2) 如果圆柱与三棱锥 的体积的比等于 ，求直线 与平面 所成的角.
🔍【思路分析】
破题导航
第一问论证逻辑：
- 因为 是圆柱的轴截面，所以侧棱 底面圆 。
- 从而 。又因为 在底面上，由圆柱性质可导出 与底面多线的垂直关系，或利用线面垂直进行转化。
- 更直接地，证明 平面 。由于 是正方形，无法直接垂直，需转化调整：证明 平面 不成立，应考虑证明 平面 （轴截面）。因为 是半圆周角，所以 。又 底面 。由此可得 平面 （即平面 ）。
- 进而 。结合已知 ，可证 。
第二问计算逻辑：
- 设底面圆半径为 ，则轴截面正方形边长 。
- 写出圆柱体积 。
- 利用体积比求出三棱锥 的体积 ，进而求出 的面积。
- 在 Rt 中求出 到 的距离，确定 点的几何位置。
- 作 在平面 上的投影，因 在底面圆周上，过 作 于 ，由面面垂直可知 平面 。连接 ，则 即为直线 与平面 所成的角。
✅【答案】
Success
(1) 证明见解析
(2)
✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明： 因为 是圆柱的轴截面，所以 是底面圆的直径。 因为点 在底面圆周上，所以 ，即 。
又因为圆柱的母线 底面圆周所在的平面，且 底面平面， 所以 。
由于 且 ，即 在同一柱面上垂直。 具体地， 且 ，（由母线与底面垂直性质，可直接称 平面 ）。 即 平面 所在的侧向垂直面（平面 不妥，应为： 底面 。同时 。因为 且均在平面 及其平行面组成的系统内。正确表述为： 且 平面 ）。
因为 平面 ，且 平面 ， 所以 。
又已知 ，且 ， 所以 平面 。
因为 平面 ， 所以 。
(2) 解： 设底面圆的半径为 。 因为轴截面 是正方形，所以圆柱的高 ，底面直径 。
圆柱的体积为：
由题意，圆柱与三棱锥 的体积之比为 ，则三棱锥的体积为：
根据棱锥体积公式，，代入数据得：
在底面圆中，过 作 于点 。则 为 中 边上的高。 所以 。
因为 且 是直径，由圆的几何性质可知，垂足 恰好为 的中点（即底面圆心 ）。 由于圆柱的两个底面平行且轴截面垂直于底面，过 作 ，则 平面 。
连接 。因为 平面 ，所以 是 在平面 上的射影。 因此， 就是直线 与平面 所成的角。
在 Rt 中： ，（ 为 中点），
在 Rt 中（因为 平面 ）： ，，
所以，直线 与平面 所成角的正切值为 （或写成该角的反正切值 ）。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：线面垂直的性质定理定理（线线垂直 线面垂直）的互相转化；柱体与锥体体积的结构关系；线面角的基本作法（找垂线、找射影）。 核心方法：“面外找垂线法”。求线面角的核心在于寻找交点与垂足。本题中通过证明 直接推导出 平面 ，锁定了垂足 使得空间角顺利退化到平面直角三角形中解决。 避坑指南：
- 第一问中，极易错误地去证明 平面 。必须分清 点在圆周上运动，导致 与平面 的位置是动态的。正确的桥梁是利用母线垂直特性，通过 平面 来实现跨平面转化。
- 第二问计算出 后，必须指出 为 的中点，从而确定 ，否则在 Rt 中无法求出直角边 的具体长度。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于典型的立体几何常规综合大题。取材于立体几何教材中关于圆柱、圆锥的性质性质章节，考查学生对空间图形的割补、投影以及经典线面位置关系的判定。 结论推广： 若圆柱的高为 ，底面半径为 。点 为底面圆周上任意一点，若三棱锥 的体积与圆柱体积之比为固定值 ，则 到轴截面边 的距离恒为： 此时，直线 与轴截面平面所成角 的正切值公式可统一表示为： 其中 为垂足 到 中点的距离 。该参数模型可用于解决一类关于底面动点引发的空间角最值或定值轨迹问题。
🔗【关联脉络】
Multi column