1995-全国卷理-18 填-三角函数的和角化简与最值

本题导读

本题考查两角差的正弦公式，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\cos x$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

展开式变形：首先利用两角差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ 将 $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 展开。 分配律去括号：将展开后的多项式与后面的 $\cos x$ 相乘，得到含 $\sin x\cos x$ 与 ${\cos }^{2}x$ 的结构。 降幂与二倍角转化：利用二倍角公式 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 和余弦降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 将非线性项转化为关于 $2x$ 的一次项。 辅助角化一：运用辅助角公式将关于 $2x$ 的正弦、余弦组合式合并，从而直接观察出函数的最小值。

✅【答案】

Success

$-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

利用两角差的正弦公式，将原函数中的正弦部分展开： $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x$

代入原函数表达式中，展开得： $y=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x\right)\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\cos x-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x$

应用二倍角公式与降幂公式： $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

代入上式进行化简： $y=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)$ $y=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x-\frac{1}{4}$

提出系数 $\frac{1}{2}$，利用辅助角公式逆向化简： $y=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)-\frac{1}{4}$ $y=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-\frac{1}{4}$

因为对任意的 $x\in \mathbb{R}$，正弦函数满足： $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$

所以当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$ 时，函数 $y$ 取得最小值： $y_{\text{min}}=\frac{1}{2}\times (-1)-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换（积化和差的特例变形）与正弦型函数最值的基本求法。 核心方法：“降幂扩角”与“一角化、一功化、一名化”。通过变换使自变量的角统一（化为 $2x$），函数名称统一（化为正弦），最后利用单调性边界求解。 避坑指南：

• 降幂公式中 $\frac{1+\cos 2x}{2}$ 后面的 $\frac{1}{2}$ 容易在去括号时漏掉系数，导致常数项变为 $-\frac{1}{2}$。
• 在求“最小值”时，注意不要遗漏常数项 $-\frac{1}{4}$ 的平移作用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题为经典的三角函数大题或中档填空题的标准模型，直接考查积化和差核心思想的落地，常见于各阶段模拟卷及教材复习单元的核心位置。 结论推广： 对于形如 $y=\sin (x-\alpha )\cos x$ 的函数，其一般化表达式可借助积化和差公式直接写出： $y=\frac{1}{2}[\sin (2x-\alpha )+\sin (-\alpha )]=\frac{1}{2}\sin (2x-\alpha )-\frac{1}{2}\sin \alpha$ 由于 $\sin (2x-\alpha )$ 的最小值为 $-1$，因此该类函数的通用最小值公式为： $y_{\text{min}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin \alpha =-\frac{1+\sin \alpha }{2}$ 本题验证：本题中 $\alpha =\frac{\pi }{6}$，$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$，代入推广公式得 $y_{\text{min}}=-\frac{1+\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$。使用该推广结论可瞬间秒杀此类极值问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-08 单-三角函数的最值
• 1997-上海文-12 填-三角函数的最值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值