1995-全国卷理-16 填-指数不等式的解法

本题导读

本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 不等式 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2-8}>3^{-2x}$ 的解集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

统一底数：不等式两边的底数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $3$，利用幂的运算性质 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^A=3^{-A}$，将两边化为以 $3$ 为底的同底数幂。 利用单调性转化：因为底数 $3>1$，指数函数 $y=3^t$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。因此，幂的大小关系可以直接转化为指数的大小关系，且不等号方向保持不变。 解一元二次不等式：将转化后的一元二次不等式化为标准形式，通过因式分解求出解集。 规范规范书写：最终结果需按照题目要求写成集合或区间的形式。

✅【答案】

Success

$\{x|-2<x<4\}$ 或 $(-2,4)$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式为： ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2-8}>3^{-2x}$

由于 $\frac{1}{3}=3^{-1}$，左边可化为： ${\left(3^{-1}\right)}^{x^2-8}=3^{-(x^2-8)}=3^{-x^2+8}$

故原不等式等价于： $3^{-x^2+8}>3^{-2x}$

因为底数 $3>1$，根据指数函数的单调递增性，可得： $-x^2+8>-2x$

移项变形为标准的一元二次不等式： $x^2-2x-8<0$

对左边进行因式分解： $(x-4)(x+2)<0$

解得： $-2<x<4$

所以，原不等式的解集为 $\{x|-2<x<4\}$（或写成区间形式 $(-2,4)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数不等式的同底数化处理与一元二次不等式的求解。 核心方法：“同底数法”。通过幂的负指数性质将两边底数化为一致，是解决指数方程与不等式的通用方法。 避坑指南：

• 如果选择统一将底数化为 $\frac{1}{3}$，即变为 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2-8}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}$。此时由于底数 $0<\frac{1}{3}<1$，指数函数单调递减，脱掉底数时必须改变不等号的方向，即得到 $x^2-8<2x$。若忘记改变不等号方向，将导致结果完全错误。
• 填空题要求写“解集”，结果必须用集合或区间形式表示，若只写 $-2<x<4$ 属于格式不规范。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于指数函数性质应用的基本题型，直接源自课本中“指数函数及其性质”的课后基础练习题，用以检测对基本初等函数运算熟练度的常规考查。 结论推广： 对于形如 $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ 的指数不等式：

• 当 $a>1$ 时，原不等式等价于 $f(x)>g(x)$；
• 当 $0<a<1$ 时，原不等式等价于 $f(x)<g(x)$。 本题中通过底数互为倒数的特性进行等价转化，若将函数形式推广至复合函数 $a^{h(x)}$，其核心逻辑依然是利用函数的单调性去消去外层算子。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-09 填-对数方程的求解
• 1997-上海文-07 填-对数方程的求解
• 1996-上海理-09 填-对数方程的求解