1995-全国卷理-13 单-排列数的实际应用（三位偶数）

本题导读

本题考查排列与组合，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 用 $1,2,3,4,5$ 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 ()

A. 24 个　　　　B. 30 个　　　　　C. 40 个　　　　　D. 60 个

🔍【思路分析】

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识别特殊位置：一个三位数是否为偶数，完全由其个位数字决定。因此，个位是本题的特殊位置。 优先安排个位：在给定的数字 $1,2,3,4,5$ 中，偶数只有 $2$ 和 $4$。个位只能从这两个数字中选一个。 安排其余位置：个位确定后，再从剩下的 4 个数字中任选 2 个排列在百位和十位上。 应用乘法原理：将两步的方法数相乘，即得总的偶数个数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据分步计数原理，组装符合条件的三位数共分两步：

确定个位数字 要使三位数为偶数，个位数字必须是偶数。在 $1,2,3,4,5$ 中，偶数有 $2$ 和 $4$ 共 2 个。 从这 2 个偶数中任选 1 个填在个位，共有 $A_2^1=2$ 种选法。

确定百位和十位数字 个位数字确定后，还剩下 $5-1=4$ 个数字。 从剩下的 4 个数字中任选 2 个排列在百位和十位上，共有 $A_4^2=4\times 3=12$ 种排法。

计算总数 根据分步乘法计数原理，符合条件的没有重复数字的三位偶数共有： $N=A_2^1\times A_4^2=2\times 12=24$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：有限制条件的排列组合问题。 核心方法：“特殊元素（位置）优先原则”。在解决排列组合问题时，必须优先考虑有绝对限制的特殊位置或特殊元素，本题的突破口即为个位。 避坑指南：切忌从百位开始盲目排列。如果先排百位和十位，在排到个位时就会因为前面是否占用了偶数（2 或 4）而导致个位可选数字发生变化，从而不得不进行复杂的分类讨论，增加了出错的概率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于排列组合部分的经典基础题型，直接取材于高中数学课本关于“分步计数原理与排列”的例题与习题改编，旨在考查学生对基本计数工具的熟练度。 结论推广： 若用 $n$ 个互不相同的非零数字（其中有 $m$ 个偶数，$n\ge 3,m\ge 1$）组成没有重复数字的 $k$ 位数（$k\le n$），其偶数的个数公式为： $N=A_m^1\cdot A_{n-1}^{k-1}$ 在本题中，$n=5$（数字1-5），$m=2$（数字2, 4），$k=3$（三位数），代入公式得： $N=A_2^1\cdot A_4^2=2\times 12=24$ 延伸思考：若已知数字中包含 $0$（例如 $0,1,2,3,4$），则需额外注意最高位（百位）不能为 $0$ 的限制，此时通常需要优先对个位是否为 $0$ 进行分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-05 单-相邻元素的排列计数
• 1996-上海文-17A 填-相邻元素的排列计数
• 1998-全国卷文-10 单-分组分配的计数