1995-全国卷理-12 单-等差数列前 n 项和之比与极限

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和公式，以及等差数列通项与前 $n$ 项和的关系。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$ 与 $T_n$，若 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{2n}{3n+1}$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}$ 等于 ()

A. $1$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{4}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

寻找通项与前 $n$ 项和的联系：根据等差数列的求和公式，前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n\cdot a_{\frac{n+1}{2}}$（当 $n$ 为奇数时）。由此可得等差数列中奇数项和的比值与某特定项的比值可以直接挂钩，即 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$。 写出 $\frac{a_n}{b_n}$ 的表达式：将已知关系中的 $n$ 替换为 $2n-1$，从而得到 $\frac{a_n}{b_n}$ 关于 $n$ 的代数表达式。 求极限：利用无穷远处理法，对含 $n$ 的分式结构求当 $n\to \infty$ 时的极限值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据等差数列的性质，前 $2n-1$ 项的和可表示为： $S_{2n-1}=\frac{(2n-1)(a_1+a_{2n-1})}{2}=(2n-1)a_n$ 同理，数列 $\{b_n\}$ 的前 $2n-1$ 项和为： $T_{2n-1}=(2n-1)b_n$

因此，对于任意正整数 $n$，都有以下关系成立： $\frac{a_n}{b_n}=\frac{(2n-1)a_n}{(2n-1)b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$

已知 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{2n}{3n+1}$，用 $2n-1$ 代替其中的 $n$ 可得： $\frac{a_n}{b_n}=\frac{2(2n-1)}{3(2n-1)+1}=\frac{4n-2}{6n-2}$

接下来求当 $n\to \infty$ 时该式子的极限： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{4n-2}{6n-2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{4-\frac{2}{n}}{6-\frac{2}{n}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的核心性质 $\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{a_n}{b_n}$ 以及分式极限的求法。 核心方法：下标代换法。利用两等差数列前 $2n-1$ 项和之比等于第 $n$ 项之比这一结论，省去求首项和公差的繁琐步骤。 避坑指南：

• 易错点是将 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}$ 误认为直接等于 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{T_n}$ 的表达式。虽然在本题中由于两边最高次幂相同，直接对 $\frac{2n}{3n+1}$ 取极限得到的也是 $\frac{2}{3}$，但在解答题中若缺少 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$ 的逻辑推导过程会导致严重扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于等差数列性质中的经典“两和比与项比”问题。源自教材中对等差数列对称性（$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots$）的逻辑延伸。 结论推广： 对于任意两个等差数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，其前 $n$ 项和分别为 $S_n$ 和 $T_n$，则有通式： $\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$ 若已知 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{f(n)}{g(n)}$（其中 $f(n),g(n)$ 为关于 $n$ 的一次函数或不含常数项的二次函数），则 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{f(2n-1)}{g(2n-1)}$。 当求无穷远极限时，若 $f(n)$ 与 $g(n)$ 是同阶同次函数，则： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{T_n}$ 该推广结论在客观题（选择题、填空题）中可作为快速秒杀的工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-13 单-等差数列前 3m 项和
• 1996-上海文-24 解-数列的通项与公共项
• 1997-上海文-13A 填-数列的极限