1995-全国卷理-11 单-对数型复合函数的单调性

本题导读

本题考查复合函数的单调性（同增异减），以及对数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 已知 $y={\log }_a(2-ax)$ 在 $[0,1]$ 上是 $x$ 的减函数，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(0,1)$　　　　B. $(1,2)$　　　　C. $(0,2)$　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

复合函数拆解：设外层函数为 $y={\log }_{a}u$，内层函数为 $u(x)=2-ax$。 分析内层函数单调性：内层一次函数 $u=-ax+2$ 的斜率为 $-a$。由对数底数要求知 $a>0$ 且 $a\ne 1$，因此斜率 $-a<0$，即内层函数 $u(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒为减函数。 判定外层底数范围：已知复合函数整体在 $[0,1]$ 上为减函数。根据复合函数单调性“同增异减”原则，内层已为减函数，则外层函数 $y={\log }_{a}u$ 必须为增函数，由此确定底数范围为 $a>1$。 施加定义域约束（最关键）：对数函数的真数必须严格大于 0，即 $u(x)=2-ax>0$ 在 $[0,1]$ 上恒成立。由于 $u(x)$ 是减函数，只需使其在区间右端点取得的最小值大于 0 即可，即 $u(1)>0$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设外层函数为 $y={\log }_{a}u$，内层函数为 $u=2-ax$。 根据对数函数的性质，底数满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$。

1. 利用单调性确立底数分类： 内层函数 $u=2-ax$ 是关于 $x$ 的一次函数。因为 $a>0$，所以其斜率 $-a<0$。 这说明内层函数 $u=2-ax$ 在区间 $[0,1]$ 上是减函数。

   已知复合函数 $y={\log }_a(2-ax)$ 在 $[0,1]$ 上是减函数。 根据复合函数单调性的“同增异减”法则： $\text{整体（减）}=\text{外层（增）}\times \text{内层（减）}$ 因此，外层对数函数 $y={\log }_{a}u$ 必须是增函数。 由对数函数的单调性可知，底数必须满足： $a>1\text{(1)}$

2. 利用定义域保证真数恒正： 要使函数在 $[0,1]$ 上有意义，真数部分必须在整个闭区间 $[0,1]$ 上严格大于 0，即： $u=2-ax>0\text{对于 }x\in [0,1]\text{ 恒成立}$

   因为内层函数 $u(x)=2-ax$ 在 $[0,1]$ 上是单调递减的，所以它在右端点 $x=1$ 处取得区间内的极小值。 只要保证这个极小值大于 0，就能确保区间内的所有真数全部大于 0。 代入 $x=1$ 得： $2-a\cdot 1>0⟹a<2\text{(2)}$ (注：左端点 $x=0$ 时 $u(0)=2>0$ 恒成立，无需额外约束)

3. 联立求解交集： 综合 ① 式与 ② 式的约束条件，取其交集： $\{\begin{array}{l}a>1\\ a<2\end{array}⟹1<a<2$ 即 $a$ 的取值范围是 $(1,2)$。

观察选项，B 选项符合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数单调性口诀“同增异减”；对数函数真数大于 0 的定义域边界控制原则。
2. 核心方法：端点法。处理一次函数（或单调函数）在闭区间上的恒成立问题，直接将其转化为端点处的不等式，能最大化精简思维链条。
3. 避坑指南：
   • 遗漏真数大于 0（高危陷阱）：很多学生只关注“同增异减”，通过第 1 步推导出 $a>1$ 后，就草率地判定选择 D。务必牢记：研究函数性质（单调性、奇偶性等）必须在定义域内进行，真数不安全，一切性质皆无意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高中代数“对数函数与复合函数”章节的标志性综合辨析题。通过将单调性与定义域约束交织在一起，达到考查数学思维严谨性的目的。
2. 结论推广：对于更泛化的对数复合函数 $y={\log }_a(f(x))$ 在闭区间 $[m,n]$ 上的单调性约束，若要求其为减函数，可推广为以下解耦的不等式组结构：
   • 当 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上为减函数时：$\{\begin{array}{l}a>1\\ f(n)>0\end{array}$
   • 当 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上为增函数时：$\{\begin{array}{l}0<a<1\\ f(m)>0\end{array}$ 利用该推广模型，可以直接跳过定性分析步骤，实现秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1996-上海文-09 填-对数方程的求解
• 1997-上海文-15B 填-函数的单调区间