1995-全国卷理-07 单-反三角不等式的解集

本题导读

本题考查反三角函数的定义域与值域，以及反正弦与反余弦函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 使 $\arcsin x>\arccos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$　　　B. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$　　　C. $\left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$　　　D. $[-1,0)$

🔍【思路分析】

破题导航

明确定义域约束：首先确定基本函数的存在条件。不论是 $\arcsin x$ 还是 $\arccos x$，它们的定义域均为 $x\in [-1,1]$。 运用恒等式代换：利用反三角函数核心基本恒等式 $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$，将原不等式中的 $\arccos x$ 消去，转化为仅含 $\arcsin x$ 的一元一次不等式。 结合单调性解出范围：解出 $\arcsin x$ 的数值区间后，利用 $y=\arcsin x$ 在定义域内的严格单调递增性，两边同时作用正弦算子（$\sin$），并对齐定义域上界，得出 $x$ 的最终取值范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：恒等变形代换法 根据反三角函数的定义， $\arcsin x$ 与 $\arccos x$ 的定义域均为： $x\in [-1,1]\text{(1)}$

在共同定义域内，存在恒等式： $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}⟹\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$

将该恒等式代入原不等式 $\arcsin x>\arccos x$ 中，得： $\arcsin x>\frac{\pi }{2}-\arcsin x$ $2\arcsin x>\frac{\pi }{2}$ $\arcsin x>\frac{\pi }{4}$

因为反正弦函数 $y=\arcsin x$ 在定义域 $[-1,1]$ 上是严格单调递增函数，且当 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$。 由此，由 $\arcsin x>\frac{\pi }{4}$ 可得： $x>\frac{\sqrt{2}}{2}$

结合定义域条件 ①（$x\le 1$），最终可得 $x$ 的取值范围为： $x\in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$

观察选项，B 选项符合该区间。

解法二：特殊值排除法（秒杀法）

1. 取特殊值 $x=0$： $\arcsin 0=0$ 且 $\arccos 0=\frac{\pi }{2}$。此时 $0>\frac{\pi }{2}$ 不成立，因此 $x=0$ 不在范围内。 含有 $x=0$ 的选项有 A 和 C，直接排除。
2. 取特殊值 $x=-1$： $\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}$ 且 $\arccos (-1)=\pi$。显然 $-\frac{\pi }{2}>\pi$ 不成立，排除 D。
3. 综上所述，只能选择 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反三角函数性质：$\arcsin x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$， $\arccos x\in [0,\pi ]$，两者交点处有 $\arcsin x=\arccos x=\frac{\pi }{4}⟹x=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 核心方法：代数消元法。利用恒等式 $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ 将异名反三角函数化为同名反三角函数。
3. 避坑指南：
   • 遗漏定义域边界：在求解出 $x>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 后，部分学生由于缺乏定义域拦截意识，容易忽略 $x\le 1$ 这一天然上限。虽然在选择题中不易出错，但在解答题中属于严重扣分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高中代数关于反三角函数图象交点与大小比较的基本定理，可通过两函数在同一坐标系下的交点位置直接直观判定。
2. 结论推广： 利用函数图象法， $y=\arcsin x$ 严格单调递增， $y=\arccos x$ 严格单调递减。 在共同定义域 $x\in [-1,1]$ 内：
   • 当 $x\in \left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 时， $\arcsin x<\arccos x$；
   • 当 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $\arcsin x=\arccos x=\frac{\pi }{4}$；
   • 当 $x\in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$ 时， $\arcsin x>\arccos x$。 该性质在后续高等数学（微积分）中确定二重积分区域的对角分割时具有重要应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-03 单-三角不等式求取值范围
• 1996-上海文-02 单-正弦函数的单调区间
• 1997-上海文-08 填-三角方程的解的个数