1995-全国卷理-04 单-正方体外接球的表面积

本题导读

本题考查正方体的表面积与体对角线，以及球的内外切几何体（球的外接正方体）。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 正方体的全面积是 $a^2$，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ()

A. $\frac{\pi a^2}{3}$　　　　　B. $\frac{\pi a^2}{2}$　　　　　C. $2\pi a^2$　　　　　　D. $3\pi a^2$

🔍【思路分析】

破题导航

求正方体的棱长：设正方体的棱长为 $x$。由正方体全面积（6 个面）为 $a^2$，列出方程 $6x^2=a^2$，求出 $x^2$。 寻找线段对接关系（空间特征）：由于正方体的所有顶点都在球面上，该球为正方体的外接球。根据空间几何性质，正方体的体对角线恰好通过球心，即正方体的体对角线长等于球的直径 $2R$。 计算球的表面积：利用三维勾股定理求出体对角线平方 $(2R{)}^2=3x^2$，进而得到 $R^2$ 或直接求出 $4R^2$，代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设正方体的棱长为 $x$，外接球的半径为 $R$。

因为正方体有 6 个全等的正方形面，且其全面积为 $a^2$， 所以有： $6x^2=a^2⟹x^2=\frac{a^2}{6}\text{(1)}$

由于正方体的顶点都在球面上，可知该球为正方体的外接球。 根据外接球的几何特性，正方体的体对角线即为球的直径 $2R$。 由立体几何性质，棱长为 $x$ 的正方体体对角线长为 $\sqrt{3}x$， 故可得关系式： $2R=\sqrt{3}x$

两边平方，得： $(2R{)}^2=(\sqrt{3}x{)}^2⟹4R^2=3x^2\text{(2)}$

将 ① 式 $x^2=\frac{a^2}{6}$ 代入 ② 式中： $4R^2=3\times \frac{a^2}{6}=\frac{a^2}{2}$

球的表面积公式为 $S=4\pi R^2$，将上式整体代入： $S=\pi \cdot (4R^2)=\pi \cdot \frac{a^2}{2}=\frac{\pi a^2}{2}$

观察选项，B 选项符合计算结果。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体外接球模型：$\text{体对角线}=\sqrt{3}\times \text{棱长}=2R$；球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。
2. 核心方法：整体代换法。在求解 $4R^2=3x^2$ 后，不需要将 $R$ 开方单独解出，直接将 $4R^2$ 作为一个结构整体代入表面积公式，可有效简化计算步骤并避免开方带来的有理化失误。
3. 避坑指南：
   • 概念混淆：切勿将“全面积”误认为是一个面的面积或者是体积，正方体表面积共有 6 个面。
   • 对角线公式记错：容易将正方体体对角线 $\sqrt{3}x$ 记错成面对角线 $\sqrt{2}x$，导致计算出选项 A 的错误结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自多面体与旋转体切接问题的经典基本功训练，属于高考立体几何小题中的高频基础考点。
2. 结论推广：
   • 正方体外接球：直径 $2R=\sqrt{3}x⟹S_{\text{外}}=3\pi x^2$。
   • 正方体棱切球（与12条棱相切）：直径 $2R=\sqrt{2}x⟹S_{\text{棱}}=2\pi x^2$。
   • 正方体内切球（与6个面相切）：直径 $2R=x⟹S_{\text{内}}=\pi x^2$。 本题中正方体表面积 $S_{\text{正}}=6x^2=a^2⟹x^2=\frac{a^2}{6}$，直接代入外接球推广公式即可秒杀：$S_{\text{外}}=3\pi \cdot \frac{a^2}{6}=\frac{\pi a^2}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-08 单-长方体的外接球
• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积
• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积