1995-全国卷理-02 单-反比例型函数的图象识别

本题导读

本题考查反比例函数图象与性质，以及函数图象的平移变换。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 函数 $y=-\frac{1}{x+1}$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

确定渐近线位置：令分母 $x+1=0$ 得到垂直渐近线为 $x=-1$。由此可直接排除垂直渐近线在 $x=1$ 的选项。 分析分支所在象限（平移视角的相对位置）：

• 基本反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象分布在第一、三象限。
• 带有负号的 $y=-\frac{1}{x}$ 的图象分布在第二、四象限。
• $y=-\frac{1}{x+1}$ 是由 $y=-\frac{1}{x}$ 向左平移 1 个单位得到，因此两分支应位于新渐近线 $x=-1$ 和 $y=0$ 构成的“新坐标系”的第二、四象限。 特殊点坐标校验：令 $x=0$ 求出 $y$ 轴截距，通过截距的正负完成最终判定。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：图象平移变换法

1. 基础函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象为双曲线，分支位于第一、三象限。
2. 函数 $y=-\frac{1}{x}$ 的图象与 $y=\frac{1}{x}$ 关于 $x$ 轴对称，分支位于第二、四象限。
3. 目标函数 $y=-\frac{1}{x+1}$ 的自变量由 $x$ 变为 $x+1$，根据“左加右减”的平移变换法则，需要将 $y=-\frac{1}{x}$ 的图象整体向左平移 1 个单位。
   • 平移后，原垂直渐近线 $x=0$ 变为 $x=-1$。
   • 双曲线两分支分别位于垂直渐近线 $x=-1$ 的左上方（第二象限区域）和右下方（第四象限区域）。
   • 对照选项图象，B 选项完全符合此空间分布。

解法二：特征元素排除法（秒杀法）

1. 看垂直渐近线：由分母不为 0 知 $x\ne -1$，故垂直渐近线方程为 $x=-1$。选项 A 和 C 的渐近线为 $x=1$，直接排除。
2. 看特殊点截距：在剩下的 B 和 D 中，令 $x=0$，代入解析式得： $y=-\frac{1}{0+1}=-1$ 这说明函数图象与 $y$ 轴的交点在原点下方，即交于点 $(0,-1)$。 观察图形：
   • B 选项图象与 $y$ 轴交于负半轴，符合要求；
   • D 选项图象与 $y$ 轴交于正半轴，不符。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数平移变换法则；反比例函数及其变式 $y=\frac{k}{x-a}+b$ 的渐近线为 $x=a$ 和 $y=b$。
2. 核心方法：
   • 解析几何法：利用特殊位置（渐近线、对称中心）和特殊点（坐标轴截距、顶点）对宏观趋势进行卡位。
3. 避坑指南：
   • 误将 $x+1$ 记为向右平移，从而错选 A 或 C。
   • 图象平移后，分支的弯曲方向及开口不发生改变，仅相对参考系发生相对平移，作图时需对齐新渐近线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高一数学函数章节关于“反比例函数图象变换”的常规考察，属于考查数形结合直觉的基础题。
2. 结论推广：分式有理函数（分式线性变换）通式为 $y=\frac{cx+d}{ax+b}$。通过分离常数法，均能转化为标准反比例函数的平移形式： $y=\frac{c}{a}+\frac{d-\frac{bc}{a}}{a(x+\frac{b}{a})}$ 其垂直渐近线恒为 $x=-\frac{b}{a}$，水平渐近线恒为 $y=\frac{c}{a}$。掌握此结构可直接秒杀所有一阶分式函数的图象性质题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-02 单-指数函数与对数函数的图象
• 1996-上海文-08 单-二次函数与指数函数的图象
• 1997-全国卷文-07 单-函数图象的对称性