1994-全国卷理-19 填-圆锥的体积

本题导读

本题考查圆锥的几何性质，以及空间两异面直线间的距离。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 设圆锥底面圆周上两点 $A、B$ 间的距离为 2，圆锥顶点到直线 $AB$ 的距离为 $\sqrt{3}$，$AB$ 和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

明确空间几何结构并作图：

• 设圆锥的顶点为 $S$，底面圆心为 $O$，则 $SO$ 即为圆锥的轴， $SO\perp$ 底面圆 $O$。
• 设 $AB$ 的中点为 $D$，连接 $OD,SD$。因为 $OA=OB$，所以 $OD\perp AB$。又因为 $SO\perp$ 底面，由三垂线定理可知 $SD\perp AB$。 转化已知条件为线段长：
• “顶点到直线 $AB$ 的距离为 $\sqrt{3}$” 即 $SD=\sqrt{3}$。
• “$AB$ 和圆锥的轴 $SO$ 的距离为 1”，由于 $SO\perp$ 底面，$OD\subset$ 底面且 $OD\perp AB$，故 $OD$ 是异面直线 $SO$ 与 $AB$ 的公垂线段，即 $OD=1$。 链式求出半径与高：
• 在 $△SOD$ 中，$SO\perp OD$，利用勾股定理求出圆锥的高 $h=SO$。
• 在底面 $△OAD$ 中，$OD\perp AD$，利用勾股定理求出底面半径 $r=OA$。 计算体积：代入体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 求解。

✅【答案】

Success

$\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥的顶点为 $S$，底面圆心为 $O$，底面半径为 $r$，高为 $h$（即 $SO=h$）。 取底面弦 $AB$ 的中点为 $D$，连接 $OD$、$SD$ 和 $OA$。

1. 判定垂直关系与距离表征：

   • 因为 $OA=OB=r$ 且 $D$ 为 $AB$ 的中点，所以 $OD\perp AB$。
   • 因为 $SO\perp$ 底面圆 $O$，且 $OD\subset$ 底面，所以 $SO\perp OD$。
   • 由 $SO\perp$ 底面，$OD\perp AB$，根据三垂线定理可得：$SD\perp AB$。
   • 因此，线段 $SD$ 的长即为顶点 $S$ 到直线 $AB$ 的距离，已知 $SD=\sqrt{3}$。
   • 轴 $SO$ 垂直于底面，直线 $AB$ 落在底面内，且 $OD\perp SO$，$OD\perp AB$，所以 $OD$ 是异面直线 $SO$ 与 $AB$ 的公垂线段。其长度即为两异面直线的距离，已知 $OD=1$。

2. 计算圆锥的高 $h$： 在直角 $△SOD$ 中，$\angle SOD=90^{\circ }$，由勾股定理得： $SO=\sqrt{S{D}^2-O{D}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$ 即圆锥的高 $h=\sqrt{2}$。

3. 计算底面半径 $r$： 因为 $AB=2$ 且 $D$ 为其中点，所以 $AD=\frac{1}{2}AB=1$. 在底面直角 $△OAD$ 中，$\angle ODA=90^{\circ }$，由勾股定理得： $r=OA=\sqrt{O{D}^2+A{D}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 即底面半径 $r=\sqrt{2}$，底面积 $S_{\text{底}}=\pi r^2=2\pi$。

4. 计算圆锥的体积 $V$： $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times \pi \times (\sqrt{2}{)}^2\times \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线距离的判定、三垂线定理的应用、圆锥及底面圆弦心距的几何结构。 核心方法：通过寻找空间线面的垂直桥梁（本题中为弦中点 $D$ 构成的 $SO\perp OD\perp AB$ 垂直网络），将分散的空间几何条件向关键直角三角形（$△SOD$ 与 $△OAD$）集中。 避坑指南：

• 公垂线找错（最大难点）：容易无法理解 “$AB$ 和圆锥的轴的距离为 1” 对应的空间几何线段。务必明确，当一直线垂直于一平面，另一直线落在平面内时，两直线的距离等于垂直于面内直线的垂线段长。
• 计算漏乘 $\frac{1}{3}$：部分学生在求出半径和高后，由于兴奋容易直接套用圆柱体积公式，在填空题中错写成 $2\sqrt{2}\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查空间多维距离的转化，源于立体几何关于“异面直线”与“旋转体”性质的深度组合，是历年高考填空题压轴位置最中规中矩且极具区分度的高维空间想象力测试题。 结论推广：在底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥内，若底面一弦长为 $2m$，该弦与轴的距离为 $d$，顶点到该弦的距离为 $L$。则这五个空间几何量恒满足以下解耦联立方程组： $\{\begin{array}{l}{L}^2=h^2+d^2\\ r^2=m^2+d^2\end{array}$ 此模型将圆锥内部的所有非轴截面距离关系完全规范化，已知其中任意三个量，均可通过该方程组瞬时秒杀其余几何体未知量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积
• 1995-全国卷文-04 单-正方体外接球的表面积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积