1994-全国卷理-18 填-同角三角函数关系求值

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系（平方关系、商数关系），以及三角函数在各象限的符号。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 已知 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$，$\theta \in (0,\pi )$，则 $\cot \theta$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

判定角所在象限：已知 $\theta \in (0,\pi )$，说明 $\theta$ 在第一或第二象限，此时 $\sin \theta >0$。而 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}<1$，说明 $\cos \theta$ 必须为负数，由此判定 $\theta$ 必为第二象限角。 构建方程组求解：

• 思路一（代数解方程）：利用同角三角函数的平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 与已知条件组成方程组，解出 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 的值，再利用 $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$ 求值。
• 思路二（万能齐次化）：对已知条件两边平方求出 $2\sin \theta \cos \theta$ 的值，再结合 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 构造出关于 $\tan \theta$（或 $\cot \theta$）的二次方程求解。

✅【答案】

Success

$-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

判定角 $\theta$ 的象限及符号 因为 $\theta \in (0,\pi )$，所以 $\sin \theta >0$。 又已知 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$，两边平方得： $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=\frac{1}{25}$ ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{25}$ 因为 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，所以： $1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{25}⟹2\sin \theta \cos \theta =-\frac{24}{25}\text{(1)}$ 由于 $2\sin \theta \cos \theta <0$ 且 $\sin \theta >0$，所以 $\cos \theta <0$。 由此可知，$\theta$ 是第二象限角，其余切值 $\cot \theta <0$。

求解 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 利用完全平方公式： $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta$ 将 ① 式代入，得： $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-\left(-\frac{24}{25}\right)=\frac{49}{25}$ 由于 $\sin \theta >0$ 且 $\cos \theta <0$，所以 $\sin \theta -\cos \theta >0$。 开平方取正值，得： $\sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{5}\text{(2)}$

联立已知条件 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$ 与 ② 式： $\{\begin{array}{l}\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}\\ \sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{5}\end{array}$ 两式相加得 $2\sin \theta =\frac{8}{5}⟹\sin \theta =\frac{4}{5}$； 两式相减得 $2\cos \theta =-\frac{6}{5}⟹\cos \theta =-\frac{3}{5}$。

计算 $\cot \theta$ 根据商数关系： $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 的应用，以及和差转化技巧：$(\sin \theta \pm \cos \theta {)}^2=1\pm 2\sin \theta \cos \theta$。 核心方法：通过平方法求出乘积项 $2\sin \theta \cos \theta$，进而利用“知一求二”的思想（知道和与积，求差），联立线性方程组求解。 避坑指南：

• 符号选择（最大盲点）：在计算 $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=\frac{49}{25}$ 进开方时，必须严格通过象限符号分析判定 $\sin \theta -\cos \theta$ 的正负（正减负为正），切勿盲目写成 $\pm \frac{7}{5}$，否则会导致算出多余的错误答案（如 $-\frac{4}{3}$ 等）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于高一三角函数章节中极其经典的“$\sin \theta +\cos \theta ,\sin \theta -\cos \theta ,\sin \theta \cos \theta$ 知一推三”知能训练题，源于课本基础恒等变形的综合应用。 结论推广：若已知 $\sin \theta +\cos \theta =m$（$|m|\le \sqrt{2}$），则可直接通过构造一元二次方程来求解 $\tan \theta$（或 $\cot \theta$）。 将已知两边平方：$2\sin \theta \cos \theta =m^2-1$。 利用齐次式代换： $\frac{2\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }=m^2-1$ 分子分母同除以 ${\cos }^2\theta$，得：$\frac{2\tan \theta }{{\tan }^2\theta +1}=m^2-1$。 通过该二次方程可直接解出 $\tan \theta$，倒数即为 $\cot \theta$。这种“弦化切”的齐次化思想在处理更复杂的三角代数式时往往具有更广的通用性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值
• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值