1994-全国卷理-10 单-分步计数与选派问题

本题导读

本题考查排列组合的应用，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有 ()

A. 1260 种　　　B. 2025 种　　　C. 2520 种　　　　D. 5040 种

🔍【思路分析】

破题导航

本题是一个典型的分派问题，可以通过分步乘法计数原理来解决。将选派任务的过程分为三个连续的步骤： 第一步（选甲）：从总共 10 人中任意选出 2 人去承担甲任务，其组合数为 $C_{10}^2$。 第二步（选乙）：完成第一步后，剩下 $10-2=8$ 人，从中选出 1 人去承担乙任务，其组合数为 $C_8^1$。 第三步（选丙）：完成第二步后，剩下 $8-1=7$ 人，从中选出 1 人去承担丙任务，其组合数为 $C_7^1$。

最后根据分步乘法计数原理，将这三步的组合数相乘即得总选法。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据分步乘法计数原理，按照“甲任务 $\to$ 乙任务 $\to$ 丙任务”的顺序依次选派人员：

1. 第一步：从 10 人中选 2 人承担甲任务，不同的选法种数为： $C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45\text{ 种}$

2. 第二步：从剩下的 8 人中选 1 人承担乙任务，不同的选法种数为： ${\mathrm{C}}_8^1=8\text{ 种}$

3. 第三步：从剩下的 7 人中选 1 人承担丙任务，不同的选法种数为： ${\mathrm{C}}_7^1=7\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有： $N=C_{10}^2\times {\mathrm{C}}_8^1\times {\mathrm{C}}_7^1=45\times 8\times 7$ $N=360\times 7=2520\text{ 种}$

(注：若改变选择任务的先后顺序，如“先选乙、再选丙、最后选甲”，计算式为 $C_{10}^1\times {\mathrm{C}}_9^1\times {\mathrm{C}}_8^2=10\times 9\times 28=2520\text{ 种}$，结果完全一致。)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步乘法计数原理以及组合数公式 $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。 核心方法：处理这类“名额、位置或任务各不相同”的分派问题时，采用“留下的总人数递减”的分步挑选策略是最为稳妥的做法。 避坑指南：

• 谨防“重复计算”或“忘掉任务的差异性”。由于乙、丙是两项不同的任务，需要区别对待，不能直接看成“在剩下 8 人中选 2 人”而误写成 $C_{10}^2\times C_8^2=45\times 28=1260$（这对应的选项是 A，即把乙、丙看成了不需要区分的同一组，属于经典易错点）。
• 注意每一部选完人后，下一次选择对应的可选总人数（基数）要同步扣减。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于高中数学排列组合章节的标志性基础应用题，源自课本中关于分步计数原理与不均匀分组分派问题的基本训练。 结论推广：不均匀分组分派模型 把 $n$ 个不同的元素分派给 $k$ 个不同的对象，第 $1$ 个对象需 $m_1$ 个，第 $2$ 个对象需 $m_2$ 个，$\dots$，第 $k$ 个对象需 $m_k$ 个（其中 $m_1+m_2+\cdots +m_k\le n$），则不同的分派方法总数为： $N=C_n^{m_1}\cdot C_{n-m_1}^{m_2}\cdot C_{n-m_1-m_2}^{m_3}\dots C_{n-m_1-\cdots -m_{k-1}}^{m_k}$ 若元素恰好分完（即 $m_1+m_2+\cdots +m_k=n$），该式亦可表示为多项式系数（Multinomial coefficient）形式： $N=\frac{n!}{m_1!\cdot m_2!\dots m_k!}$ 例如本题，若先从 10 人中选出 4 人（$C_{10}^4=210$），再将这 4 人分成 2 人、1 人、1 人三组派向甲乙丙（$\frac{4!}{2!\cdot 1!\cdot 1!}=12$），总数即为 $210\times 12=2520$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-05 单-相邻元素的排列计数
• 1995-全国卷文-20 填-排列组合的分堆与恰一空盒计数
• 1997-全国卷文-15 单-四面体中共面的计数