1994-全国卷理-04 单-第二象限角的半角三角函数符号

本题导读

本题考查象限角的概念与范围，以及半角的范围判定。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 设 $\theta$ 是第二象限的角，则必有 ()

A. $\tan \frac{\theta }{2}>\cot \frac{\theta }{2}$　　　B. $\tan \frac{\theta }{2}<\cot \frac{\theta }{2}$　　　C. $\sin \frac{\theta }{2}>\cos \frac{\theta }{2}$　　　　D. $\sin \frac{\theta }{2}<\cos \frac{\theta }{2}$

🔍【思路分析】

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确定半角范围：由 $\theta$ 是第二象限角列出其一般形式的范围，两边同除以 $2$ 得到 $\frac{\theta }{2}$ 的取值范围。 分析终边位置：根据 $\frac{\theta }{2}$ 的范围确定其终边落在第几象限。 函数值比较：根据半角所在象限的三角函数性质（或利用特殊值、单位圆、三角函数图像），比较各选项中三角函数值的大小。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：范围判定法 因为 $\theta$ 是第二象限的角，所以： $2k\pi +\frac{\pi }{2}<\theta <2k\pi +\pi (k\in \mathbb{Z})$

各边同除以 $2$，得： $k\pi +\frac{\pi }{4}<\frac{\theta }{2}<k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

• 当 $k$ 为偶数（不妨设 $k=0$）时，$\frac{\pi }{4}<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$，此时 $\frac{\theta }{2}$ 落在第一象限的中间平分线垂直上方区域；
• 当 $k$ 为奇数（不妨设 $k=1$）时，$\pi +\frac{\pi }{4}<\frac{\theta }{2}<\pi +\frac{\pi }{2}$，即 $\frac{5\pi }{4}<\frac{\theta }{2}<\frac{3\pi }{2}$，此时 $\frac{\theta }{2}$ 落在第三象限的相应区域。

在这两个区域内，利用单位圆或三角函数性质分析：

• 关于 A、B 选项：在第一象限 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 内，$\tan \frac{\theta }{2}>1$ 且 $\cot \frac{\theta }{2}<1$，故 $\tan \frac{\theta }{2}>\cot \frac{\theta }{2}$；但在第三象限 $\left(\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$ 内，$\tan \frac{\theta }{2}>1$ 且 $\cot \frac{\theta }{2}<1$，依然满足 $\tan \frac{\theta }{2}>\cot \frac{\theta }{2}$。因此 A 选项正确。
• 关于 C、D 选项：在第一象限该区域内，$\sin \frac{\theta }{2}>\cos \frac{\theta }{2}>0$（满足 C）；而在第三象限该区域内，$\cos \frac{\theta }{2}>\sin \frac{\theta }{2}$（因为负得更少，满足 D）。由于终边位置有两种可能，故 C、D 均不能“必有”。

解法二：特殊值排除法 取第二象限特殊角 $\theta =120^{\circ }$，则 $\frac{\theta }{2}=60^{\circ }$。

• $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，$\cot 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$，满足 $\tan 60^{\circ }>\cot 60^{\circ }$，排除 B；
• $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，满足 $\sin 60^{\circ }>\cos 60^{\circ }$，排除 D。

再取第二象限另一个特殊角（跨周期的） $\theta =120^{\circ }+360^{\circ }=480^{\circ }$，则 $\frac{\theta }{2}=240^{\circ }$。

• $\sin 240^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 240^{\circ }=-\frac{1}{2}$。
• 此时 $-\frac{\sqrt{3}}{2}<-\frac{1}{2}$，即 $\sin \frac{\theta }{2}<\cos \frac{\theta }{2}$，排除 C。

综上所述，只有 A 选项恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：已知 $\theta$ 所在象限，求 $\frac{\theta }{n}$ 所在象限时，必须写出包含 $2k\pi$ 的一般形式再做除法，不能只用显性的一周范围 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 运算。 核心方法：对于终边有多种可能位置的选择题，采用“多取几个代表不同位置的特殊值”进行排除是最迅速的战术。 避坑指南：容易误认为 $\theta$ 在第二象限，$\frac{\theta }{2}$ 就一定在第一象限，从而误选 C。务必注意由于周期性的存在，半角终边可能落在两个对顶的区域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查三角函数经典的“半角终边区域”问题。教材在介绍象限角和终边相同的角时，通常会通过对顶区域的划分（如“以十字形或田字形划分平面”）来作为典型例题。 结论推广：若 $\theta$ 是第 $n$ 象限的角，则 $\frac{\theta }{2}$ 的终边将落在平面被各象限平分线划分出来的 $2n$ 个可能区域中。具体到本题，$\tan x$ 与 $\cot x$ 的大小关系在关于原点对称的区域（一、三象限内相同位置）具有一致性，因为它们受正切/余切的 $\pi$ 周期性保护。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值
• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值
• 1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间