1994-全国卷理-02 单-椭圆标准方程与焦点位置

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质（焦点位置与分母大小关系）。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 如果方程 $x^2+k{y}^2=2$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，那么实数 $k$ 的取值范围是 ()

A. $(0,+\infty )$　　　　B. $(0,2)$　　　　C. $(1,+\infty )$　　　　D. $(0,1)$

🔍【思路分析】

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方程标准化：将方程 $x^2+k{y}^2=2$ 两边同除以 $2$，化为椭圆的标准方程形式 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$。 焦点位置判定：根据焦点在 $y$ 轴上的充要条件，即 $y^2$ 项的分母大于 $x^2$ 项的分母，且两分母均大于 $0$，列出关于 $k$ 的不等式组求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

将方程 $x^2+k{y}^2=2$ 两边同时除以 $2$，得： $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{\frac{2}{k}}=1$

因为该方程表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆， 所以 $y^2$ 底下的分母必须大于 $x^2$ 底下的分母，且两分母都必须为正数。 由此可列出不等式组： $\{\begin{array}{l}\frac{2}{k}>2\\ \frac{2}{k}>0\end{array}$

由 $\frac{2}{k}>0$ 得：$k>0$。 在此基础上，由 $\frac{2}{k}>2$ 两边同除以 $2$ 得 $\frac{1}{k}>1$，解得：$k<1$。

综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $0<k<1$，即 $(0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$。当 $m>n>0$ 时，焦点在 $x$ 轴上；当 $n>m>0$ 时，焦点在 $y$ 轴上。 核心方法：通过常数项化为 $1$ 的手段将圆锥曲线方程标准化，进而比较分母大小。 避坑指南：容易只考虑 $\frac{2}{k}>2$ 而忽略隐含条件 $\frac{2}{k}>0$（即 $k\ne 0$ 且不能为负数，否则可能变为双曲线）。在本题中虽不影响最终选择，但在填空题或解答题中是极易失分的盲点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自课本中对椭圆定义与标准方程的基本训练，通过变换系数来加深学生对“$a>b>0$”这一基础代数特征的理解。 结论推广：对于方程 $A{x}^2+B{y}^2=C$（$C\ne 0$）：

• 当 $A>0,B>0$ 且 $A\ne B$ 时，表示椭圆；
• 若要使其焦点在 $y$ 轴上，需满足 $\frac{C}{B}>\frac{C}{A}>0$。若 $C>0$，则等价于 $0<B<A$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-11 单-椭圆的一般方程化标准方程
• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程
• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程