1994-全国卷理-01 单-集合的补集与并集运算

本题导读

本题考查集合的补集运算，以及集合的并集运算。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 设全集 $I=\{0,1,2,3,4\}$，集合 $A=\{0,1,2,3\}$，集合 $B=\{2,3,4\}$，则 $\bar{A}\cup \bar{B}=$ ()

A. $\{0\}$　　　B. $\{0,1\}$　　　　C. $\{0,1,4\}$　　　　D. $\{0,1,2,3,4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

分布求解法：先分别求出集合 $A$ 在全集 $I$ 中的补集 $\bar{A}$，以及集合 $B$ 在全集 $I$ 中的补集 $\bar{B}$，再将两个补集取并集。 德·摩根定律法：利用集合性质 $\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{A\cap B}$，先求出 $A$ 与 $B$ 的交集，再求交集的补集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：分布求解法 因为全集 $I=\{0,1,2,3,4\}$，集合 $A=\{0,1,2,3\}$ 所以 $\bar{A}=\{4\}$

因为集合 $B=\{2,3,4\}$ 所以 $\bar{B}=\{0,1\}$

结合并集的定义，将 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 的元素合并： $\bar{A}\cup \bar{B}=\{4\}\cup \{0,1\}=\{0,1,4\}$

解法二：德·摩根定律法 根据德·摩根定律可知：$\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{A\cap B}$ 先求 $A$ 与 $B$ 的交集： $A\cap B=\{0,1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$

再求其在全集 $I$ 中的补集： $\overline{A\cap B}=\{0,1,4\}$

故 $\bar{A}\cup \bar{B}=\{0,1,4\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：补集 ${\complement }_{I}A$（题中记为 $\bar{A}$）是指属于全集 $I$ 且不属于集合 $A$ 的元素组成的集合；并集 $A\cup B$ 是指属于 $A$ 或属于 $B$ 的元素组成的集合。 核心方法：直接法（分别求补再并）或利用德·摩根定律化简运算。 避坑指南：在求补集时，注意不要漏掉全集 $I$ 中的元素（如 $0$ 往往容易被粗心忽略）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于高考卷开篇的经典集合题，直接源自高一数学课本中关于“集合的基本运算”的课后习题改编，旨在稳定考生情绪。 结论推广：在全集 $U$ 下，德·摩根定律（De Morgan’s laws）具有普适性：

• ${\complement }_U(A\cap B)=({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$
• ${\complement }_U(A\cup B)=({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)$ 利用此定律可以实现交、并运算与补集运算的灵活转换，简化多层嵌套的集合问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-01 单-集合的补集与交集运算
• 1996-全国卷文-01 单-集合的交集与补集
• 1997-全国卷文-01 单-集合的交集与一元二次不等式