1994-上海-20 单-数学归纳法的逻辑推理

本题导读

本题考查数学归纳法的逻辑推理，以及逆否命题的运用。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷） 某个命题与自然数 $n$ 有关.如果当 $n=k$（$k\in \mathbb{N}$）时该命题成立，那么可推得当 $n=k+1$ 时该命题也成立.现已知当 $n=5$ 时该命题不成立，那么可推得 ()

A. 当 $n=6$ 时该命题不成立　　　　　　　B. 当 $n=6$ 时该命题成立 C. 当 $n=4$ 时该命题不成立　　　　　　　D. 当 $n=4$ 时该命题成立

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把题设写为蕴含命题。
2. 取其逆否命题推理。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

题设“$P(k)$ 成立 $\Rightarrow$ $P(k+1)$ 成立”，其逆否为“$P(k+1)$ 不成立 $\Rightarrow$ $P(k)$ 不成立”。由 $P(5)$ 不成立，取 $k+1=5$ 即 $k=4$，得 $P(4)$ 不成立。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法的逻辑推理

核心方法：题设的逆否为”$n=k+1$ 不成立推 $n=k$ 不成立”，由 $n=5$ 不成立推 $n=4$ 不成立，选 C

避坑指南：归纳递推的逆否推理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数学归纳法

结论推广：一般地，归纳递推的逆否推理

方法推广：归纳递推的逆否推理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1996-上海理-06 单-充要条件的判定
• 1996-上海文-06 单-奇函数的充要条件
• 1995-上海理-05 单-双曲线方程的充要条件