1994-上海文-26 解-等比数列与递推数列的最值

本题导读

本题考查分段函数与单调性。核心在于用向量旋转求矩形顶点，再对动点位置分段求面积并判单调性。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(文)） 设 $P(1,t)$ 是直角坐标系内的点（$t>0$）.将向量 $\overrightarrow{OP}$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{\pi }{2}$，再把它模变为原来的两倍，得到向量 $\overrightarrow{OQ}$，以 $OP$，$OQ$ 为邻边作矩形 $OPRQ$.

(1)求点 $Q$，$R$ 的坐标；

(2)求矩形 $OPRQ$ 在第一象限部分的面积 $S(t)$；

(3)确定函数 $S(t)$ 的单调区间，并加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由向量旋转求 $Q$，再由平行四边形法则求 $R$。
2. 按 $R$ 是否在第一象限分段求面积。
3. 作差法判单调性。

✅【答案】

Success

(1) $Q(-2t,2)$，$R(-2t+1,t+2)$

(2) $S(t)=\{\begin{array}{ll}2(1-t+t^2-t^3),& 0<t<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right),& t\ge \frac{1}{2}\end{array}$

(3) $(0,1]$ 内减、$[1,+\infty )$ 内增

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\overrightarrow{OP}=(1,t)$。由 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OP}=0$ 且 $|\overrightarrow{OQ}|=2|\overrightarrow{OP}|$，得 $\overrightarrow{OQ}=\pm 2(-t,1)$；又按逆时针旋转，故 $\overrightarrow{OQ}=(-2t,2)$，即 $Q(-2t,2)$。 又 $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=(-2t+1,t+2)$，故 $R(-2t+1,t+2)$。 (2)当 $-2t+1>0$，即 $0<t<\frac{1}{2}$ 时，点 $R$ 在第一象限，$S(t)$ 为四边形 $OPRQ$ 在第一象限部分的面积。直线 $QR$ 方程为 $y-2=t(x+2t)$，令 $x=0$ 得 $y=2t^2+2$，即 $K(0,2t^2+2)$。> $S(t)=S_{OPRQ}-S_{OQK}=2{\left(\sqrt{1+t^2}\right)}^2-\frac{1}{2}(2t^2+2)\cdot 2t=2(1-t+t^2-t^3)$。 当 $-2t+1\le 0$，即 $t\ge \frac{1}{2}$ 时，点 $R$ 在 $y$ 轴或第二象限，$S(t)$ 为 $△OPL$ 面积。直线 $PR$ 方程为 $y-t=-\frac{1}{t}(x-1)$，令 $x=0$ 得 $y=t+\frac{1}{t}$，即 $L\left(0,t+\frac{1}{t}\right)$，故 $S(t)=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$。 (3)当 $0<t_1<t_2<\frac{1}{2}$ 时，$S(t_1)-S(t_2)=2(t_2-t_1)[1-(t_1+t_2)+(t_1^2+t_1{t}_2+t_2^2)]>0$，故在 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 内递减；当 $\frac{1}{2}\le t_1<t_2\le 1$ 时，$S(t_1)-S(t_2)=\frac{1}{2}(t_1-t_2)\left(1-\frac{1}{t_1{t}_2}\right)>0$，故在 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 递减；当 $1\le t_1<t_2$ 时，$S(t_1)-S(t_2)=\frac{1}{2}(t_1-t_2)\left(1-\frac{1}{t_1{t}_2}\right)<0$，故在 $[1,+\infty )$ 递增。又 $S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}$ 在分段处连续，综上 $S(t)$ 在 $(0,1]$ 内是减函数，在 $[1,+\infty )$ 内是增函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与递推数列的最值

核心方法：(1) $a_n{a}_{n+1}+a_{n+1}{a}_{n+2}>a_{n+2}{a}_{n+3}$ 即 $r{q}^{n-1}+r{q}^n>r{q}^{n+1}$，得 $q^2-q-1<0$，又 $q>0$，故 $0<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；(2) $\frac{b_{n+1}}{b_n}=q$，$b_n=(1+r)q^{n-1}$，$\lim \frac{1}{S_n}=\frac{1-q}{1+r}$（$0<q<1$）或 $0$（$q\ge 1$）；(3) $r=2^{19.2}-1$、$q=\frac{1}{2}$ 时 $c_n=\frac{{\log }_2{b}_{n+1}}{{\log }_2{b}_n}=1+\frac{1}{n-20.2}$，最大 $c_{21}=2.25$、最小 $c_{20}=-4$

避坑指南：等比递推 + 分离变量求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列与递推

结论推广：一般地，等比递推、分离变量求最值

方法推广：等比递推 + 分离变量求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-20 解-抛物线的实际应用
• 1995-上海文-25 解-二次函数与圆的面积之和
• 1995-上海理-25 解-二次函数与圆的递推关系