1994-上海文-22 解-空间向量的夹角与垂直

本题导读

本题考查空间向量的夹角与垂直。核心在于把向量坐标化后，用数量积求夹角与垂直条件。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(文)） 已知空间三个点 $P(-2,0,2)$，$Q(-1,1,2)$ 和 $R(-3,0,4)$.设 $\vec{a}=\overrightarrow{PQ}$，$\vec{b}=\overrightarrow{PR}$.

(1)求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$（用反三角函数表示）；

(2)试确定实数 $k$，使 $k\vec{a}+\vec{b}$ 与 $k\vec{a}-2\vec{b}$ 互相垂直.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的坐标。
2. 用数量积求夹角余弦。
3. 由两向量垂直的数量积为 0 解 $k$。

✅【答案】

Success

(1) $\theta =\arccos \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$

(2) $k=-\frac{5}{2}$ 或 $k=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\vec{a}=\overrightarrow{PQ}=(1,1,0)$，$\vec{b}=\overrightarrow{PR}=(-1,0,2)$，故 $|\vec{a}|=\sqrt{2}$，$|\vec{b}|=\sqrt{5}$。于是 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，故 $\theta =\arccos \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$。 (2)由 $(k\vec{a}+\vec{b})\cdot (k\vec{a}-2\vec{b})=(k-1,k,2)\cdot (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k^2-8=2k^2+k-10$。 两向量互相垂直当且仅当 $2k^2+k-10=0$，解得 $k=-\frac{5}{2}$ 或 $k=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量的夹角与垂直

核心方法：$\vec{a}=\overrightarrow{PQ}=(1,1,0)$，$\vec{b}=\overrightarrow{PR}=(-1,0,2)$，$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，故 $\theta =\arccos (-\frac{\sqrt{10}}{10})$；(2) $(k\vec{a}+\vec{b})\cdot (k\vec{a}-2\vec{b})=(k-1,k,2)\cdot (k+2,k,-4)=2k^2+k-10=0$，解得 $k=-\frac{5}{2}$ 或 $2$

避坑指南：向量坐标求夹角与垂直条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量

结论推广：一般地，向量坐标求夹角与垂直条件

方法推广：向量坐标求夹角与垂直条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 1995-上海文-21B 解-空间向量的坐标与夹角
• 1995-上海理-21B 解-空间向量的坐标与夹角
• 1994-全国卷文-23 解-正三棱柱中的平行与射影