1993-旧高考理-18 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及直线与直线所成的角。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 已知异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角为 50°， $P$ 为空间上一定点，则过点 $P$ 且与 $a,b$ 所成的角都是 30° 的直线有且仅有 ()

A. 1 条　　　　　B. 2 条　　　　　C. 3 条　　　　　　D. 4 条

🔍【思路分析】

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平移化归：由于直线的方向只与其方向向量有关，通过定点 $P$ 分别作直线 $a^{\prime }\parallel a$ 和 $b^{\prime }\parallel b$。此时， $a^{\prime }$ 与 $b^{\prime }$ 相交于点 $P$，且它们所成的锐角（或直角）为 50°。原问题等价于求在同一平面（或空间）中，过点 $P$ 且与相交直线 $a^{\prime },b^{\prime }$ 均成 30° 角的直线条数。 空间圆锥面建模：

• 到已知直线 $a^{\prime }$ 的夹角恒为 30° 的直线的集合，在三维空间中是以 $a^{\prime }$ 为轴线、以 30° 为顶角半角的正圆锥面（双锥面，包含对顶的两支）。
• 同理，到已知直线 $b^{\prime }$ 的夹角恒为 30° 的直线的集合，是以 $b^{\prime }$ 为轴线、以 30° 为顶角半角的另一个正圆锥面。 分析锥面相交的临界位置：过点 $P$ 的目标直线即为这两个双圆锥面的交线。交线的条数取决于两个轴线之间的夹角（50°）与两个半顶角（30° + 30° = 60°）的大小比较。 确定最终交线条数：由于 50° < 30° + 30° 且 50° > |30° - 30°|，说明两个圆锥面处于相交状态。结合空间对称性，精确数出双锥面产生的公共母线条数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 为了便于分析，利用平移思想，过空间定点 $P$ 分别作直线 $a^{\prime }\parallel a$， $b^{\prime }\parallel b$。 因为异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角为 50°，所以相交直线 $a^{\prime }$ 与 $b^{\prime }$ 所成的锐角为 50°。

在空间中，我们来构造符合角度特征的几何轨迹：

1. 以直线 $a^{\prime }$ 为参考： 过点 $P$ 且与直线 $a^{\prime }$ 所成角为 30° 的所有直线，其轨迹是以 $P$ 为顶点， $a^{\prime }$ 为轴线，母线与轴线夹角（半顶角）为 30° 的对顶双圆锥面，记为锥面 $M$。
2. 以直线 $b^{\prime }$ 为参考： 过点 $P$ 且与直线 $b^{\prime }$ 所成角为 30° 的所有直线，其轨迹是以 $P$ 为顶点， $b^{\prime }$ 为轴线，母线与轴线夹角（半顶角）为 30° 的另一个对顶双圆锥面，记为锥面 $N$。

题目所求过点 $P$ 且同时与 $a,b$ 成 30° 角的直线，本质上就是锥面 $M$ 与 锥面 $N$ 的公共母线（交线）。

我们对这两条轴线 $a^{\prime },b^{\prime }$ 所在的平面进行位置关系分析： 直线 $a^{\prime }$ 与 $b^{\prime }$ 在其所在的公平面内，两条角平分线相互垂直。其中一根锐角平分线与 $a^{\prime },b^{\prime }$ 的夹角均为： $\frac{50^{\circ }}{2}=25^{\circ }$ 另一根钝角平分线与 $a^{\prime },b^{\prime }$ 的夹角均为： $\frac{180^{\circ }-50^{\circ }}{2}=65^{\circ }$

下面讨论锥面 $M$ 和 锥面 $N$ 各自的单支（单锥面）在空间中的相交情况：

• 在锐角平分线方向： 由于两轴线的夹角为 50°，而两个圆锥面的半顶角之和为 $30^{\circ }+30^{\circ }=60^{\circ }$。 因为 $50^{\circ }<60^{\circ }$，这意味着靠近锐角平分线一侧的两个圆锥单支的表面必然会发生交叠相交。 根据空间几何曲面相交特性，每一个对向的单支锥面相交，会产生 2 条公共交线。这两条交线关于直线 $a^{\prime },b^{\prime }$ 构成的平面呈前后对称，且它们在平面上的射影恰好就是 $a^{\prime }$ 与 $b^{\prime }$ 的锐角平分线。

• 在钝角平分线方向： 由于两轴线的钝角外夹角为 $180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$。 而圆锥单支在另一侧的半顶角之和依旧是 $30^{\circ }+30^{\circ }=60^{\circ }$。 因为 $130^{\circ }>60^{\circ }$，说明在钝角外侧，两个圆锥的表面彼此相距很远，完全分离，没有交点。

• 交叉支相交分析： 考虑锥面 $M$ 的正向单支与锥面 $N$ 的反向单支之间的夹角，其对应轴线夹角为 130°。由于 $130^{\circ }>60^{\circ }$，交叉单支之间不相交。

综上所述，整个双锥面 $M$ 与双锥面 $N$ 在三维空间中，只有在靠近 50° 锐角平分线的那一侧（包含对顶侧）由于“半顶角之和大于轴线角”而发生相互刺穿。 每一对对顶支相交贡献 2 条交线，两对顶支关于顶点 $P$ 中心对称，对应的直线合为同一组。 所以，在三维空间中符合条件的直线一共有且仅有 2 条。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的空间平移化归，直线夹角的圆锥面几何轨迹模型，空间旋转面相交的数额判定。 核心方法：圆锥面相交分析法（临界角度比较法）。 避坑指南：

• 直觉思维陷阱：很多考生习惯于只在 $a^{\prime },b^{\prime }$ 所在的“平面内”去寻找直线。在平面内，与 $a^{\prime },b^{\prime }$ 均成 30° 的直线，因为 $\frac{50^{\circ }}{2}=25^{\circ }\ne 30^{\circ }$，会发现平面内一条都找不到，从而误导自己陷入死胡同。必须建立空间思维，认识到符合条件的直线是立体的，会从平面“翘起来”悬浮在平面两侧。
• 条数查重陷阱：利用锥面相交算个数时，注意圆锥面产生的交线是射线。2对单锥面相交产生4条射线，但由于它们首尾相接共线，每2条射线化为1条完整的穿过点 $P$ 的“直线”，故最终计数是 2 条直线，切勿错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于立体几何板块极具空间想象力强度的探究计数题。通常作为高三模考、高考选择题的压轴题出现，旨在考查学生的空间视见能力与逻辑严密性。 结论推广：

• 一般地，若两异面（或相交）直线所成的角为 $\alpha$，要求过定点 $P$ 且与两直线所成角均为 $\beta$ 的直线条数 $N$，通用推广结论如下：
  • 当 $\beta <\frac{\alpha }{2}$ 时： $N=0$ 条；
  • 当 $\beta =\frac{\alpha }{2}$ 时： $N=1$ 条（此时直线恰好为平面内的锐角平分线）；
  • 当 $\frac{\alpha }{2}<\beta <90^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$ 时： $N=2$ 条（本题 $25^{\circ }<30^{\circ }<65^{\circ }$，完美符合此区间）；
  • 当 $\beta =90^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$ 时： $N=3$ 条（包含平面内的钝角平分线 1 条，及空间悬空对称的 2 条）；
  • 当 $90^{\circ }-\frac{\alpha }{2}<\beta <90^{\circ }$ 时： $N=4$ 条。 记住这个全大纲通用的不变量区间判定模型，考场上直接代入数据比大小即可瞬间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切