本题导读
本题考查排列组合与计数原理，以及全错位排列（Derangement）。
📌【题干】
Question
（1993年旧高考(理)） 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 ()
A. 6 种 B. 9 种 C. 11 种 D. 23 种
🔍【思路分析】
破题导航
模型识别：设四个人分别为 甲、乙、丙、丁，他们写的贺卡分别为 。要求每人拿“别人送出的贺年卡”，即甲不能拿 ，乙不能拿 ，丙不能拿 ，丁不能拿 。这是一个典型的 4 元素全错位排列模型。 枚举分步计数：
- 第一步：甲可以拿 中的任意一张，共有 3 种选择。
- 第二步：假设甲拿了 ，对剩余三人（乙、丙、丁）和剩余贺卡（）的分发情况进行树状图分类讨论。 公式直接求值：熟记常见小元素的错位排列数值： ，即可直接选出正确答案。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
解： 方法一（树状图枚举法）： 设这四个人分别为 1、2、3、4，他们自己写的贺年卡分别编号为 。 根据题意，每个人拿到的贺年卡字母不能与自己的编号对应（即 1不能拿 ，2不能拿 ，3不能拿 ，4不能拿 ）。
首先考虑 1号 拿卡的情况： 1号不能拿 ，所以他可以拿 ，共有 3 种等可能的情况。
由于对称性，我们只需具体讨论 1号拿 时，剩余 2、3、4号 拿卡的可行方案： 当 1号拿了 后，剩下的贺卡为 。
- 若 2号 拿了 ：剩下的贺卡为 。此时 3号只能拿 ，4号只能拿 （若 3号拿 则与自身编号重合）。 → 方案 1：(B, A, D, C)
- 若 2号 拿了 ：剩下的贺卡为 。此时 3号只能拿 ，4号只能拿 （若 3号拿 则 4号不得不拿 发生重合）。 → 方案 2：(B, C, D, A)
- 若 2号 拿了 ：剩下的贺卡为 。此时 3号只能拿 ，4号只能拿 。 → 方案 3：(B, D, A, C)
由此可知，当 1号拿 时，共有 3 种合法的分配方式。 同理，当 1号拿 或 时，通过对称的树状图展开也分别各有 3 种合法的分配方式。
根据分类加法计数原理，总的分配方式共有：
故选 B
方法二（错位排列公式法/）： 本题本质是求 时的全错位排列数。 全错位排列数满足如下经典递推特征公式：
其中基础初始值为：
- （1个人无法错位）
- （2个人错位只有 1 种互换方式）
利用递推公式向后依次计算：
- 当 时：
- 当 时：
直接口算得到 4 个元素的全错位排列数为 9。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：全错位排列数学模型的识别，分步分类计数原理的综合运用。 核心方法：树状图分支讨论法、全错位排列常数记忆法。 避坑指南：
- 极易采用总排列数减去全对情况的粗糙逻辑，导致多算或漏算“部分人对、部分人错”的交叉重叠项。例如用总排列数 减去全拿对的 1 种得到 23（误选 D），彻底忽略了有 2 个人或 3 个人拿对的排他性情况。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题是概率与排列组合板块极其著名的“伯努利-欧拉错位排列问题（Derinement）”。通常以“信帽错配”、“信件装错信封”、“钥匙开错锁”等生活化场景作为包装，是高考排列组合板块的常青树题型。 结论推广：在考场上，对于 5 以内的全错位排列问题，强烈建议直接背诵其固定的组合常数结论：
元素个数 1 2 3 4 5 错位排列数 0 1 2 9 44 牢记此表，在遇到选择、填空题时可实现零秒盲选。
🔗【关联脉络】
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