1993-旧高考理-16 单-连等式的倒数关系

本题导读

本题考查连等式的代数变形与倒数关系。核心在于设公共值为 $k$，把各量用 $k$ 表出后逐项检验四个选项是否成立。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 设 $a$、$b$、$c$ 都是正数，且 $3a=4b=6c$，那么 ()

A. $\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$　　B. $\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$　　　C. $\frac{1}{c}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$　　　D. $\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $3a=4b=6c=k$（$k>0$），则 $a=\frac{k}{3}$、$b=\frac{k}{4}$、$c=\frac{k}{6}$。
2. 取倒数得 $\frac{1}{a}=\frac{3}{k}$、$\frac{1}{b}=\frac{4}{k}$、$\frac{1}{c}=\frac{6}{k}$。
3. 逐项代入四个选项，比较等式左右两边是否相等。

✅【答案】

Success

无正确选项（原题面四个选项均不成立）

✍【详细解析】

Abstract

令 $3a=4b=6c=k$，其中 $k>0$，则 $a=\frac{k}{3}$、$b=\frac{k}{4}$、$c=\frac{k}{6}$，从而 $\frac{1}{a}=\frac{3}{k}$、$\frac{1}{b}=\frac{4}{k}$、$\frac{1}{c}=\frac{6}{k}$。 逐项检验：选项 A 的左右两边分别为 $\frac{6}{k}$ 和 $\frac{7}{k}$；选项 B 的左右两边分别为 $\frac{12}{k}$ 和 $\frac{10}{k}$；选项 C 的左右两边分别为 $\frac{6}{k}$ 和 $\frac{14}{k}$；选项 D 的左右两边分别为 $\frac{12}{k}$ 和 $\frac{11}{k}$。 因此，按原题面，四个选项均不成立，题目没有可选的正确答案。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：连等式的代数变形与倒数关系 核心方法：设公共值 $k$，把 $a$、$b$、$c$ 用 $k$ 表出后逐项检验 避坑指南：四个选项均不成立，不能勉强选一个，须如实判定「无正确选项」

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于连等式与比例、倒数的代数关系 结论推广：$3a=4b=6c=k$ 时 $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=3:4:6$，据此可快速检验各选项 方法推广：连等式问题设公共值 $k$，是消元与检验的通法

🔗【关联脉络】

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