1993-旧高考理-11 单-三角不等式与集合交集

本题导读

本题考查三角不等式的解法，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 已知集合 $E=\{\theta |\cos \theta <\sin \theta ,0\le \theta \le 2\pi \}$, $F=\{\theta |\tan \theta <\sin \theta \}$，那么 $E\cap F$ 为区间 ()

A. $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$　　　B. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$　　　　C. $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$　　　　D. $\left(\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

解集合 $E$ 的范围：不等式 $\cos \theta <\sin \theta ⟹\sin \theta -\cos \theta >0$。在直角坐标系中，即直线 $y=x$ 的上方区域。结合 $0\le \theta \le 2\pi$，可得 $E=\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$。 解集合 $F$ 的范围：对 $\tan \theta <\sin \theta$ 进行因式分解变形，转化为 $\sin \theta \left(\frac{1}{\cos \theta }-1\right)<0$。通过讨论 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 在各象限的正负符号确定 $F$ 的区间。 求交集 $E\cap F$：将两个集合的区间范围在数轴（或单位圆）上取交集，得出最终结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（代数分析法）：

1. 求解集合 $E$： 不等式为 $\cos \theta <\sin \theta$，且 $0\le \theta \le 2\pi$。 在同一周期内，满足正弦函数值大于余弦函数值的临界点为 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 和 $\theta =\frac{5\pi }{4}$。 结合图象性质，在第一象限 $\frac{\pi }{4}$ 往后到第三象限 $\frac{5\pi }{4}$ 之前，正弦线均在余弦线上方。 所以集合 $E$ 对应的区间为： $E=\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$

2. 求解集合 $F$： 不等式为 $\tan \theta <\sin \theta$。将正切展开为弦式： $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }-\sin \theta <0⟹\sin \theta \left(\frac{1}{\cos \theta }-1\right)<0$ 由于对任意角，恒有 $\cos \theta \le 1⟹\frac{1}{\cos \theta }\ge 1$（当且仅当 $\theta =0,2\pi$ 等时取等号，此时不等式不成立）。 所以在满足定义域的前提下，因式 $\left(\frac{1}{\cos \theta }-1\right)$ 的符号分布如下：

   • 当 $\cos \theta >0$（即 $\theta$ 在第一、四象限）时， $0<\cos \theta <1⟹\frac{1}{\cos \theta }-1>0$。 此时要使乘积小于 0，必须有 $\sin \theta <0$，对应的象限为第四象限。
   • 当 $\cos \theta <0$（即 $\theta$ 在第二、三象限）时， $\frac{1}{\cos \theta }<0⟹\frac{1}{\cos \theta }-1<0$。 此时要使乘积小于 0，必须有 $\sin \theta >0$，对应的象限为第二象限。

   综上所述，集合 $F$ 的角度落在第二象限和第四象限的开区间内： $F=\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$

3. 求交集 $E\cap F$： 将集合 $E$ 与集合 $F$ 的区间求交集： $E\cap F=\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)\cap \left[\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)\right]=\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$

故选 A

方法二（特殊值代入法）： 直接从四个选项区间中提取代表性特殊值，代入原不等式组进行验证：

• 取 $\theta =\frac{\pi }{2}$（A, B 选项的左/右端点邻域）。代入检验： $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1⟹0<1$（满足 $E$）；但 $\tan \frac{\pi }{2}$ 无意义，排除端点。
• 取 $\theta =\frac{2\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$（属于 A 项，也属于 B 项）：
  • 检验 $E$： $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因为 $-\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，符合 $\cos \theta <\sin \theta$。
  • 检验 $F$： $\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因为 $-\sqrt{3}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，符合 $\tan \theta <\sin \theta$。 由此可知 $\frac{2\pi }{3}$ 必在交集内。此时排除 C、D（不包含该点）。
• 取 $\theta =\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$（属于 B 项，但不属于 A 项）：
  • 检验 $E$： $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，满足 $\cos \theta <\sin \theta$。
  • 检验 $F$： $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，但 $\sqrt{3}>\frac{\sqrt{3}}{2}$，不符合 $\tan \theta <\sin \theta$。 由此排除 B 项。

利用排除法，同样可锁定 A 选项为唯一正确答案。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的象限符号特征，因式分解法解三角不等式，集合交集的界限重合判定。
2. 核心方法：图象线段法、特殊值排除法。
3. 避坑指南：
   • 在求解 $\tan \theta <\sin \theta$ 时，切忌盲目认为正切在某些区间为负数就直接符合。必须要进行严谨的因式乘积正负号讨论。
   • 警惕正切函数的定义域。 $\theta \ne \frac{\pi }{2}$ 和 $\frac{3\pi }{2}$ 是正切函数的渐近线位置，交集区间必须是开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数图象与性质板块的综合辨析题。取材于高中三角函数教材中“三角不等式与同角三角函数关系”一节的典型延伸思考题。
2. 结论推广：在直角坐标系的四个象限中，各三角函数线满足如下恒等大小规律：
   • 满足 $\tan \theta <\sin \theta$ 的区域恒为第二、四象限；
   • 满足 $\tan \theta >\sin \theta$ 的区域恒为第一、三象限（扣除轴线点）。 记住此推广模型，在解决复数、微积分等综合大题的象限限幅时，能极大提高化简效率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1987-上海-25 解-集合的运算