1993-旧高考文-22 填-均值不等式与造价最值

本题导读

本题考查均值不等式与造价最值，以及容积条件的转化。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 建造一个容积为 $8$ m${}^3$，深为 $2$ m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 $120$ 元和 $80$ 元，那么水池的最低总造价为 $\underline{}$元.

🔍【思路分析】

破题导航

$xy=4$，总造价 $480+320(x+y)\ge 480+320\cdot 2\sqrt{xy}$。

✅【答案】

Success

$1760$

✍【详细解析】

Abstract

设池底长宽 $x,y>0$。由容积 $2xy=8$ 得 $xy=4$。池底造价 $120\times 4=480$ 元；池壁面积 $4(x+y)$，造价 $320(x+y)$。总造价 $480+320(x+y)⩾480+320\cdot 2\sqrt{xy}=480+1280=1760$ 元，当 $x=y=2$ 时取等。最低总造价 $1760$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式与造价最值

核心方法：$xy=4$，总造价 $480+320(x+y)\ge 480+320\cdot 4=1760$ 元

避坑指南：容积条件转底面积定值，池壁面积含 $x+y$ 用均值不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材均值不等式的应用

结论推广：容积一定时无盖水池造价有下界 $480+320\cdot 2\sqrt{xy}$ 型

方法推广：造价最值=底面定值+侧面均值不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1994-上海文-09 填-二次函数的最值（仓库容积）
• 1994-全国卷文-22 解-对数函数与均值不等式
• 2006-重庆文-12 单-均值不等式最值