1993-旧高考文-16 单-指数等式的对数化

本题导读

本题考查指数等式的对数化，以及倒数关系的逐项验证。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 设 $a$，$b$，$c$ 都是正数，且 $3^a=4^b=6^c$，那么 ()

A. \dfrac1c=\dfrac1a+\dfrac1b　　　B. \dfrac2c=\dfrac2a+\dfrac1b　　　C. \dfrac1c=\dfrac2a+\dfrac2b　　　D. \dfrac2c=\dfrac1a+\dfrac2b

🔍【思路分析】

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取对数得 $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=\ln 3:\ln 4:\ln 6$，逐项验证。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $3^a=4^b=6^c=t$，取对数：$\frac{1}{a}=\frac{\ln 3}{\ln t}$、$\frac{1}{b}=\frac{2\ln 2}{\ln t}$、$\frac{1}{c}=\frac{\ln 2+\ln 3}{\ln t}$。逐项验证：B 项右边 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2\ln 3+2\ln 2}{\ln t}=\frac{2\ln 6}{\ln t}=\frac{2}{c}$，成立；A、C、D 均不成立。故选 B ★裁定：答案册解析误将指数等式按线性等式求解（称「题面无正确选项」），数学复算与人人文库官方答案表均确认 B 正确，此处采 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数等式的对数化

核心方法：设 $3^a=4^b=6^c=t$ 取对数得 $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=\ln 3:\ln 4:\ln 6$，验证知 $\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$ 成立

避坑指南：指数等式一律先取对数化为倒数线性关系，逐项验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于指数对数互化

结论推广：$m^a=n^b=p^c$ 型的倒数关系由换底公式统一

方法推广：指数等式取对数化为线性关系再验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-07 单-对数式的比较大小
• 2003-北京文-02 单-指数幂比较大小
• 1995-上海文-07 单-指数式的大小比较