1993-旧高考文-03 单-圆锥的轴截面顶角

本题导读

本题考查圆锥的轴截面顶角，以及侧面积与底面积的关系。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 $\sqrt{2}$ 时，圆锥的轴截面顶角是 ()

A. 45^{\circ}　　　　　　B. 60^{\circ}　　　　　　C. 90^{\circ}　　　　　　D. 120^{\circ}

🔍【思路分析】

破题导航

面积比 $=\frac{l}{r}=\sqrt{2}$；轴截面中 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{l}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设底面半径 $r$、母线 $l$。$\frac{\pi rl}{\pi r^2}=\frac{l}{r}=\sqrt{2}$。轴截面顶角 $\theta$ 满足 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，且 $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$，故 $\frac{\theta }{2}=45^{\circ }$，$\theta =90^{\circ }$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥的轴截面顶角

核心方法：由 $\frac{\pi rl}{\pi r^2}=\sqrt{2}$ 得 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，顶角 $\theta =90^{\circ }$

避坑指南：侧面积比即母线与半径之比，再入轴截面直角三角形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥的轴截面

结论推广：侧/底面积比 $k$ 即 $\frac{l}{r}$，顶角由 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{k}$ 定

方法推广：旋转体问题抓住轴截面等量转化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-03 单-圆锥轴截面与全面积
• 1998-全国卷文-07 单-圆锥侧面展开图的圆心角
• 1994-全国卷文-19 填-圆锥的体积