1993-旧高考文-02 单-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的最小正周期，以及同角三角函数的切化弦。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 函数 $y=\frac{1-{\tan }^{2}2x}{1+{\tan }^{2}2x}$ 的最小正周期是 ()

A. \dfrac\pi4　　　　　　　　B. \dfrac\pi2　　　　　　　　C. \pi　　　　　　　　D. 2\pi

🔍【思路分析】

破题导航

由 $1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$ 化为 $\cos 4x$，$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

在定义域内，$\frac{1-{\tan }^{2}2x}{1+{\tan }^{2}2x}=\cos 4x$。定义域排除的点集最小正周期也是 $\frac{\pi }{2}$，与 $\cos 4x$ 相同，故 $T=\frac{\pi }{2}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最小正周期

核心方法：用 $1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$ 化原式为 $\cos 4x$，得 $T=\frac{\pi }{2}$

避坑指南：化切为弦先行，且勿忽略定义域排除点的周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材同角三角函数关系

结论推广：形如 $\frac{1-{\tan }^{2}t}{1+{\tan }^{2}t}$ 恒等于 $\cos 2t$

方法推广：切弦互化是三角化简的第一反应

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-05 单-三角函数的最小正周期
• 1994-全国卷文-06 单-三角函数的周期
• 1995-全国卷文-03 单-辅助角公式与最小正周期