1993-新高考文-28 解-椭圆方程的求解

本题导读

本题考查椭圆方程的求解。核心在于建立坐标系由定义 $2a=MP+NP$ 求长轴。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 在面积为 $1$ 的 $△PMN$ 中，$\tan \angle PMN=\frac{1}{2}$，$\tan \angle MNP=-2$.建立适当的坐标系，求以 $M,N$ 为焦点且过点 $P$ 的椭圆方程.

🔍【思路分析】

破题导航

以 $M$ 为原点、$MN$ 为 $x$ 轴，由斜率定 $P$ 坐标，面积定 $d$，再由 $2a=MP+NP$ 求长轴。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{15/4}+\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

建立直角坐标系，使 $M=(0,0)$，$N=(d,0)$（$d>0$）。由 $\tan \angle PMN=\frac{1}{2}$ 知直线 $MP$ 斜率 $\frac{1}{2}$；由 $\tan \angle MNP=-2$ 知直线 $NP$ 斜率 $2$（$P$ 在 $x$ 轴上方）。设 $P=(x,y)$，则 $\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$、$\frac{y}{x-d}=-2$，联立得 $x=\frac{4d}{3}$，$y=\frac{2d}{3}$。面积 $\frac{1}{2}\cdot d\cdot \frac{2d}{3}=1$，得 $d=\sqrt{3}$。 于是 $MP=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{16d^2}{9}+\frac{4d^2}{9}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}d=\frac{2\sqrt{15}}{3}$，$NP=\sqrt{(x-d{)}^2+y^2}=\sqrt{\frac{d^2}{9}+\frac{4d^2}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}d=\frac{\sqrt{15}}{3}$。椭圆长轴 $2a=MP+NP=\sqrt{15}$，半长轴 $a=\frac{\sqrt{15}}{2}$；焦距 $2c=MN=d=\sqrt{3}$，半焦距 $c=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$b^2=a^2-c^2=\frac{15}{4}-\frac{3}{4}=3$。 椭圆中心为 $MN$ 中点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，故方程为 $\frac{x^2}{15/4}+\frac{y^2}{3}=1$（以中心为原点平移后，焦点为 $\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程的求解

核心方法：以 $M$ 为原点得 $P=(\frac{4d}{3},\frac{2d}{3})$，$d=\sqrt{3}$，$2a=MP+NP=\sqrt{15}$，$b^2=3$，方程 $\frac{x^2}{15/4}+\frac{y^2}{3}=1$

避坑指南：建系后由定义 $2a=MP+NP$ 求长半轴，中心平移定方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆定义

结论推广：焦点三角形面积与角可定 $a,c$

方法推广：定义 $2a=MP+NP$ 优先于待定系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-28 解-椭圆方程的求解
• 1994-上海-24 解-椭圆方程与动点轨迹
• 1996-全国卷文-09 单-由准线与离心率定椭圆方程