1993-新高考文-08 单-三角恒等变形求值

本题导读

本题考查三角恒等变形求值，以及互余转化与积化和差。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） $\sin 20^{\circ }\cos 70^{\circ }+\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }$ 的值是 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\cos 70^{\circ }=\sin 20^{\circ }$、$\sin 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }$，积化和差后得 $\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 20^{\circ }\cos 70^{\circ }+\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }={\sin }^{2}20^{\circ }+\sin 10^{\circ }\cos 40^{\circ }$。由积化和差 $\sin 10^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{2}(\sin 50^{\circ }-\sin 30^{\circ })$，${\sin }^{2}20^{\circ }=\frac{1-\cos 40^{\circ }}{2}$，代入得 $\frac{1-\cos 40^{\circ }}{2}+\frac{\sin 50^{\circ }-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1-\cos 40^{\circ }+\sin 50^{\circ }-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$（因 $\sin 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }$），选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变形求值

核心方法：$\cos 70^{\circ }=\sin 20^{\circ }$、$\sin 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }$，积化和差后 $=\frac{1}{4}$

避坑指南：互余转化后用降幂公式与积化和差

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角恒等变换

结论推广：异角三角函数和可经互余化同角后配平

方法推广：互余转化+积化和差是两大主力

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值
• 1999-全国卷文-11 单-三角函数的大小比较