1993-新高考文-07 单-集合的包含关系

本题导读

本题考查集合的包含关系，以及两等差数列集合的比较。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 集合 $M=\left\{x\mid x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$，$N=\left\{x\mid x=\frac{k\pi }{4}+\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$，则 ()

A. $M=N$　　　　　　B. $M\supseteq N$　　　　　　C. $M\subseteq N$　　　　　　D. $M\cap N=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

$M$ 步长 $\frac{\pi }{2}$、起点 $\frac{\pi }{4}$；$N$ 步长 $\frac{\pi }{4}$、起点 $\frac{\pi }{2}$，故 $M\subseteq N$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$M=\left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right\}=\left\{\cdots ,-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\cdots \right\}$；$N=\left\{\frac{\pi }{2}+\frac{k\pi }{4}\right\}=\left\{\cdots ,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\cdots \right\}$。可见 $M$ 是 $N$ 的子集（$N$ 步长更小、元素更密），$M\subseteq N$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的包含关系

核心方法：$M=\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\}\subseteq \{\frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{4}\}=N$

避坑指南：两个等差数列集的包含关系比较步长与代表元

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于集合与三角周期

结论推广：步长减半的集合包含步长大的集合（起点对齐时）

方法推广：写出代表元通项再比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-01 单-集合的交集
• 1997-上海文-01 单-集合的交集
• 1999-全国卷文-01 单-韦恩图表示的集合