1993-新高考理-25 解-数学归纳法证明数列猜想

本题导读

本题考查数列的前 $n$ 项和、归纳-猜想-证明思想。核心在于观察归纳法、数学归纳法两步证法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 已知数列 $\frac{8\cdot 1}{1^2\cdot 3^2}$, $\frac{8\cdot 2}{3^2\cdot 5^2}$, $\cdots$, $\frac{8n}{(2n-1{)}^2(2n+1{)}^2}$, $\cdots$, $S_n$ 为其前 $n$ 项和. 计算得 $S_1=\frac{8}{9}$, $S_2=\frac{24}{25}$, $S_3=\frac{48}{49}$, $S_4=\frac{80}{81}$. 观察上述结果, 推测出计算 $S_n$ 的公式, 并用数学归纳法加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

观察猜想：

• 观察已知和的分母：$9=3^2=(2\times 1+1{)}^2$，$25=5^2=(2\times 2+1{)}^2$，$49=7^2=(2\times 3+1{)}^2$，由此归纳出分母的通项为 $(2n+1{)}^2$。
• 观察已知和的分子：与分母相比均少 1，即 $8=9-1$，$24=25-1$，$48=49-1$，由此归纳出分子的通项为 $(2n+1{)}^2-1=4n^2+4n=4n(n+1)$。
• 从而得到猜想 $S_n=\frac{(2n+1{)}^2-1}{(2n+1{)}^2}$ 或 $1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$。 数学归纳法证明：
• 第一步：验证 $n=1$ 时猜想是否成立。
• 第二步：假设 $n=k$ 时成立，利用递推关系 $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}$ 进行通分、因式分解与化简，证明 $n=k+1$ 时猜想同样成立。

✅【答案】

Success

$S_n=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）分析与猜想 观察已知的前 $4$ 项和： $S_1=\frac{8}{9}=\frac{3^2-1}{3^2}=1-\frac{1}{3^2}$ $S_2=\frac{24}{25}=\frac{5^2-1}{5^2}=1-\frac{1}{5^2}$ $S_3=\frac{48}{49}=\frac{7^2-1}{7^2}=1-\frac{1}{7^2}$ $S_4=\frac{80}{81}=\frac{9^2-1}{9^2}=1-\frac{1}{9^2}$

由此推测，前 $n$ 项和 $S_n$ 的通项公式为： $S_n=1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}=\frac{(2n+1{)}^2-1}{(2n+1{)}^2}=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$

（2）用数学归纳法证明 ① 当 $n=1$ 时，由上述公式得： $S_1=\frac{4\times 1\times (1+1)}{(2\times 1+1{)}^2}=\frac{8}{9}$ 与已知 $S_1$ 相符，公式成立。

② 假设当 $n=k$（$k\ge 1,k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）时公式成立，即： $S_k=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}$

那么，当 $n=k+1$ 时： $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}+\frac{8(k+1)}{[2(k+1)-1{]}^2[2(k+1)+1{]}^2}$ $S_{k+1}=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}+\frac{8(k+1)}{(2k+1{)}^2(2k+3{)}^2}$

将后两项通分，提取公因式 $-\frac{1}{(2k+1{)}^2}$： $S_{k+1}=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}\left[1-\frac{8(k+1)}{(2k+3{)}^2}\right]$ $S_{k+1}=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}\left[\frac{(2k+3{)}^2-8k-8}{(2k+3{)}^2}\right]$

展开并化简分子： $(2k+3{)}^2-8k-8=4k^2+12k+9-8k-8=4k^2+4k+1=(2k+1{)}^2$

代入上式得： $S_{k+1}=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}\cdot \frac{(2k+1{)}^2}{(2k+3{)}^2}=1-\frac{1}{(2k+3{)}^2}=1-\frac{1}{[2(k+1)+1{]}^2}$

这表明，当 $n=k+1$ 时，公式也成立。

综上所述，根据①和②，对所有 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 公式都成立，即： $S_n=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列归纳法变形运算、非等差等比数列表达式的通项总结。 核心方法：将运算形式化简为 $1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$ 比直接用分式形式 $\frac{4n(2n+2)}{(2n+1{)}^2}$ 在递推中更易通分化简。 避坑指南：

• 递推步骤中，很多学生由于代数基本功不扎实，导致对含有 $k$ 的多项式通分时出现计算错误。
• 归纳法收尾时，务必将结果凑成关于 $k+1$ 的标准形式，即显式体现出 $n$ 变为 $k+1$ 后的结构样式，确保逻辑链条严丝合缝。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：该题项的通项 $a_n=\frac{8n}{(2n-1{)}^2(2n+1{)}^2}$ 实际上可以通过裂项相消法直接求和： $a_n=\frac{1}{(2n-1{)}^2}-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$ 直接求和可得 $S_n=\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{(2n-1{)}^2}-\frac{1}{(2n+1{)}^2}\right)=1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$。命题人隐去了裂项的直接提示，改用归纳法进行考查。 结论推广：此类裂项求和可一般化为：若 $a_n=\frac{4d\cdot n}{[(2n-1)d+c{]}^2[(2n+1)d+c{]}^2}$ 型数式，皆可通过拆分构造，实现中间项的完全消去。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 2015-陕西卷理-21 解-等比数列
• 1989-全国文-22 解-数学归纳法证明