1993-新高考理-20 填-按奇偶性分类的组合计数

本题导读

本题考查排列组合（组合数公式），以及整数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 从 1, 2, $\cdots$, 10 这十个数中取出四个数, 使它们的和为奇数, 共有$\underline{}$种取法 (用数字作答).

🔍【思路分析】

破题导航

元素特征分析：集合 $\{1,2,\cdots ,10\}$ 中包含 5 个奇数（1, 3, 5, 7, 9）和 5 个偶数（2, 4, 6, 8, 10）。 和为奇数的充要条件：若若干个整数的和为奇数，当且仅当其中奇数的个数为奇数个。 分类讨论：从 10 个数中任取 4 个数，要使奇数个数为奇数，只有以下两种互斥情况：

• 情况一：选出 1 个奇数，3 个偶数；
• 情况二：选出 3 个奇数，1 个偶数。 组合计数：分别计算两种情况的组合数，最后相加得到总数。

✅【答案】

Success

$100$

✍【详细解析】

Abstract

在 1 至 10 这十个连续正整数中： 奇数有 5 个：1, 3, 5, 7, 9 偶数有 5 个：2, 4, 6, 8, 10

要使选出的四个数之和为奇数，选出的四个数中必须含有奇数个奇数。 因此，分为以下两类情况：

第一类：选 1 个奇数，3 个偶数 从 5 个奇数中任选 1 个，从 5 个偶数中任选 3 个，取法种数为： $N_1={\mathrm{C}}_5^1\cdot {\mathrm{C}}_5^3=5\times \frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=5\times 10=50$

第二类：选 3 个奇数，1 个偶数 从 5 个奇数中任选 3 个，从 5 个偶数中任选 1 个，取法种数为： $N_2={\mathrm{C}}_5^3\cdot {\mathrm{C}}_5^1=10\times 5=50$

根据加法原理，总取法种数为： $N=N_1+N_2=50+50=100$

答案： 100

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理、组合数公式。 核心方法：通过分析“和的奇偶性”由“奇数项个数”决定的本质，实现将数论性质向组合数学的分类转化。 避坑指南：容易忽略“4个数中奇数个数可以是3个”的情况，或者误以为偶数的个数会影响和的奇偶性。牢记“偶数任意相加不改变奇偶性，奇数成对相加改变奇偶性”即可完美避坑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于经典的数字组合问题，是概率论与数理统计中古典概型计算的前置基础题型。 结论推广：从 $n$ 个奇数和 $m$ 个偶数中取出 $k$ 个数，使其和为奇数的取法总数为： ${\sum }_{i=1,3,5,\cdots \le k}{C}_n^i\cdot C_m^{k-i}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 2020-上海卷-09 填-组合数公式