1993-新高考理-18 填-反三角函数的和角求值

本题导读

本题考查反三角函数定义，以及两角和的正弦公式。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） $\sin \left(\arccos \frac{1}{2}+\arccos \frac{1}{3}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设元转化：设 $\alpha =\arccos \frac{1}{2}$，$\beta =\arccos \frac{1}{3}$，将反三角函数形式转化为具体的三角函数值 $\cos \alpha =\frac{1}{2}$，$\cos \beta =\frac{1}{3}$，并确定 $\alpha ,\beta$ 的范围。 求出正弦值：利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 以及角度范围，求出 $\sin \alpha$ 和 $\sin \beta$。 公式展开：利用两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 代入求值。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\alpha =\arccos \frac{1}{2}$，$\beta =\arccos \frac{1}{3}$。 由反余弦函数值域可知 $\alpha ,\beta \in [0,\pi ]$。

根据定义得： $\cos \alpha =\frac{1}{2},\cos \beta =\frac{1}{3}$

因为 $\alpha ,\beta \in [0,\pi ]$，所以 $\sin \alpha \ge 0,\sin \beta \ge 0$： $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

根据两角和的正弦公式，原式可化为： $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

代入各项数值： $\sin (\alpha +\beta )=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$

答案： $\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的符号理解、两角和的正弦公式。 核心方法：遇到反三角函数复合运算时，通常采用“设角法”（换元法）将其转化为常规三角函数进行处理。 避坑指南：在由 $\cos \theta$ 求 $\sin \theta$ 时，务必开方注意符号。由于 $\arccos x\in [0,\pi ]$，在此区间内正弦值均为正，故直接取正号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题为解析三角函数与反三角函数工具性结合的标准题型，属于高考试卷中对三角恒等变换能力的常规检测。 结论推广：对于任意 $x,y\in [-1,1]$ 且满足 $\arccos x+\arccos y\in [0,\pi ]$，其正弦值一般化公式为： $\sin (\arccos x+\arccos y)=y\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-y^2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-甘肃-01 解-数的大小比较四问
• 1986-上海文-14 单-三角函数值大小比较
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值