1993-新高考理-17 单-错排计数

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及全错位排列。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ()

A. 6 种　　　　　B. 9 种　　　　　C. 11 种　　　　　D. 23 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 识别题目模型。由于要求每个方格的标号与所填数字均不相同，这完全符合组合数学中“全错位排列”的定义。
2. 第二步逻辑（方法一）： 采用列举法，从第一个方格开始依次讨论可填的数字。利用树状图思维逐个分支进行穷举，确保不重不漏地数出所有可能。
3. 第三步逻辑（方法二）： 直接利用错位排列数递推公式 $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$，从初始状态 $D_1=0,D_2=1$ 开始逐级递推计算出 $D_4$ 的值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：树状图列举法 我们用 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 表示 1、2、3、4 号方格内分别填入的数字，要求 $x_i\ne i(i=1,2,3,4)$。

1. 当 1 号格填 2 时，剩余数字 1, 3, 4：
   • 若 2 号格填 1，则剩余 3, 4 只能填入 4, 3 号格（因为 3 号格不能填 3），得到：$(2,1,4,3)$；
   • 若 2 号格填 3，则剩余 1, 4 只能填入 4, 1 号格（因为 4 号格不能填 4），得到：$(2,3,4,1)$；
   • 若 2 号格填 4，则剩余 1, 3 只能填入 3, 1 号格（因为 3 号格不能填 3），得到：$(2,4,1,3)$。 综上，1 号格填 2 时共有 3 种 填法。
2. 根据对称性：
   • 当 1 号格填 3 时，同理可得也有 3 种 填法（分别为 $(3,4,1,2)$, $(3,1,4,2)$, $(3,4,2,1)$）；
   • 当 1 号格填 4 时，同理可得也有 3 种 填法（分别为 $(4,1,2,3)$, $(4,3,1,2)$, $(4,3,2,1)$）。

由于 1 号格不能填 1，其只能填 2, 3, 4，故总填法种数为： $3+3+3=9\text{ 种}$ 故正确答案为：B

方法二：错位排列公式法（） 设 $n$ 个元素的全错位排列数为 $D_n$。 根据错位排列基本储备知识：

• $D_1=0$ （1个元素无法错位）
• $D_2=1$ （即 2, 1 这一种）
• $D_3=2$ （即 2, 3, 1 和 3, 1, 2 这二种）

利用错位排列的通用递推公式 $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$，将 $n=4$ 代入： $D_4=(4-1)\times (D_3+D_2)=3\times (2+1)=3\times 3=9\text{ 种}$ 故正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 错位排列模型。常以“信件装错信封”、“名字与座位不对应”、“帽子拿错”等生活场景为背景出题。
2. 核心方法： 记住前5个错位排列数（0, 1, 2, 9, 44）是解决高考此类选择填空题的捷径。
3. 避坑指南： - 避免使用常规的排列组合数直接去乘（如 ${\text{A}}_4^4$），因为该模型含有特定位置排除的复杂交集限制，盲目直接分配极易算重或算漏。
   • 使用列举法时一定要按数字大小顺序或分支逻辑书写，防止思维混乱导致漏项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于组合数学中经典的“伯努利-欧拉错装信封问题”（The Misaddressed Letters Problem），属于高考对经典数学名题低阶形式的直接搬用。
2. 结论推广（常用错位排列数储备）： 在高考中，由于题型限制，通常考查的元素个数 $n\le 5$，其对应的全错位排列数 $D_n$ 规律如下： $D_1=0$ $D_2=1$ $D_3=2$ $D_4=9$ $D_5=44$ 掌握这一数列（0, 1, 2, 9, 44），在遇到类似“4个人拿错4把伞”、“5封信全部装错5个信封”等表述时，可实现直接。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数
• 1985-广东理-23 单-受限排列计数