1993-新高考理-09 单-参数方程表示的曲线

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化，以及同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\left|\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\right|\\ y=\frac{1}{2}(1+\sin \theta )\end{array}(0<\theta <2\pi )$ 表示 ()

A. 双曲线的一支，这支过点 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ B. 抛物线的一部分，这部分过点 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ C. 双曲线的一支，这支过点 $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ D. 抛物线的一部分，这部分过点 $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（消去参数）： 观察 $x$ 的表达式含有绝对值和半角，将其两边平方可以消除绝对值，并利用同角三角函数平方和公式与二倍角正弦公式化简出 $x^2$ 与 $\sin \theta$ 的关系。再将 $\sin \theta$ 用含有 $y$ 的式子替换，从而得到 $x$ 与 $y$ 的普通方程，判定曲线类型。
2. 第二步逻辑（确定范围与过点）： 根据参数 $\theta \in (0,2\pi )$ 的范围，确定 $x$ 的取值范围，从而判定是完整的曲线还是其一部分。最后将选项中的已知点代入方程验证，选出正确答案。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：对参数方程中的第一个方程两边平方得： $x^2={\left(\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\right)}^2={\cos }^2\frac{\theta }{2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ 利用公式 ${\cos }^2\frac{\theta }{2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}=1$ 和 $2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=\sin \theta$ 化简得： $x^2=1+\sin \theta$ 由参数方程中的第二个方程可知： $2y=1+\sin \theta ⟹\sin \theta =2y-1$ 将 $\sin \theta =2y-1$ 代入 $x^2=1+\sin \theta$ 中得： $x^2=2y$ 此普通方程表示一条开口向上的抛物线。

再分析 $x$ 的取值范围： 由于 $x=\left|\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\right|=\left|\sqrt{2}\sin \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right|$，且已知 $0<\theta <2\pi ⟹0<\frac{\theta }{2}<\pi ⟹\frac{\pi }{4}<\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4}<\frac{5\pi }{4}$。 在此区间内，$\sin \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4}\right)$ 的取值范围是 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$。 加上绝对值并乘以 $\sqrt{2}$ 后，可得 $x$ 的取值范围是 $[0,\sqrt{2})$。 由于 $x\ge 0$，因此普通方程仅代表抛物线的一部分（排除 A、C）。

将点 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 代入抛物线方程 $x^2=2y$： 左边 $=1^2=1$，右边 $=2\times \frac{1}{2}=1$，左边 $=$ 右边，方程成立。而 $x=-1$ 不在 $x$ 的取值范围 $[0,\sqrt{2})$ 内。

故正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 参数方程化普通方程的代数方法、三角恒等变换公式（二倍角与辅助角公式）的应用、曲线的范围控制。
2. 核心方法： 平方消参法。在遇到含有 $\sin \frac{\theta }{2}\pm \cos \frac{\theta }{2}$ 的参数方程时，平方是首选变换手段，它可以直接生成 $1\pm \sin \theta$，完成由半角向全角的过渡。
3. 避坑指南： - 最易错点是忽视参数的范围限制。直接消参得到 $x^2=2y$ 后，如果不考虑 $\theta$ 的范围，容易漏掉 $x\ge 0$ 的隐藏条件，虽然本题选项没有给出“抛物线左半支/右半支”的干扰项，但明确 $x$ 的非负性可以直接排除 C 和 D。
   • 注意绝对值的处理，平方后 ${\left|f(\theta )\right|}^2=[f(\theta ){]}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于解析几何中参数方程章节的经典中档题，通过复杂的三角函数外壳考查最基础的圆锥曲线（抛物线）定义。
2. 结论推广（常见的三角消参模型）： - 椭圆参数方程：$\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}⟹\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$）
   • 双曲线参数方程：$\{\begin{array}{l}x=a\sec \theta \\ y=b\tan \theta \end{array}⟹\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（利用 ${\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$）
   • 本题模型：$\{\begin{array}{l}x=f(\sin \frac{\theta }{2},\cos \frac{\theta }{2})\\ y=g(\sin \theta )\end{array}$，通过降幂/倍角公式实现全角与半角的统一，多对应抛物线模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1977-北京理-04 解-同角三角函数基本关系
• 1977-江西-07 填-二倍角求角