1977-北京理-04 解-同角三角函数基本关系

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 证明: $(1+\tan \alpha {)}^2=\frac{1+\sin 2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一：从左端向右端推导（切化弦法，顺向通法）

• 观察右端全部由正弦、余弦函数构成，考虑将左端的正切函数利用商数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 进行“切化弦”。
• 括号内通分后整体平方，分子展开应用完全平方公式。
• 利用同角平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 和二倍角公式 $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$ 合拢分子，即可对齐右端。

2. 方法二：从右端向左端推导（弦化切法，逆向法）

• 观察右端分母为 ${\cos }^2\alpha$，可考虑将分子中的 1 与 $\sin 2\alpha$ 展开为弦函数形式。

• 分式各项统一除以 ${\cos }^2\alpha$，将其整体“弦化切”，逆向化简为完全平方式。

✅【答案】

Success

原恒等式成立

✍【详细解析】

Abstract

方法一：从左端证明到右端（切化弦）

$\text{左端}=(1+\tan \alpha {)}^2$

利用商数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 代入左端： $\text{左端}={\left(1+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2$

对括号内部进行同分母通分： $\text{左端}={\left(\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2$

将平方分配给分子与分母： $\text{左端}=\frac{(\cos \alpha +\sin \alpha {)}^2}{{\cos }^2\alpha }$

利用完全平方公式展开分子： $\text{左端}=\frac{{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

利用同角三角函数的平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 合并各项： $\text{左端}=\frac{1+2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }$

利用正弦二倍角公式 $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$ 代换： $\text{左端}=\frac{1+\sin 2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\text{右端}$

所以，原恒等式成立。

---

方法二：从右端证明到左端（弦化切）

$\text{右端}=\frac{1+\sin 2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

将分子的 1 替换为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$，将 $\sin 2\alpha$ 展开为 $2\sin \alpha \cos \alpha$： $\text{右端}=\frac{{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

将分式拆开，各项分别除以分母 ${\cos }^2\alpha$： $\text{右端}=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$ $\text{右端}=1+2\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2$

代入正切函数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$： $\text{右端}=1+2\tan \alpha +{\tan }^2\alpha$

利用完全平方公式逆向因式分解： $\text{右端}=(1+\tan \alpha {)}^2=\text{左端}$

所以，原恒等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切化弦基本功、完全平方式在三角函数中的结构转化（$(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+\sin 2\alpha$）。
2. 核心方法：切化弦通法、分子分母拆项法。
3. 避坑指南：

• 在展开完全平方时，容易粗心漏掉中间的 2 倍项，误写成 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$，从而导致无法推导出 $\sin 2\alpha$。

• 牢记三角函数中“1 的妙用”， $1={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$ 是连接二次项与倍角项的重要代数纽带。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学关于三角函数恒等变换的经典主干教材基础题。它是高一三角函数性质化简中的高频母题，旨在训练学生的边角结构化统一思维。
2. 结论推广: 本题可推广至更一般化的正切一元二次分式关联模型。对于任意满足定义域的角，恒有下列变换： $\frac{(1+k\tan \alpha {)}^2}{1+k^2{\tan }^2\alpha }\dots$ 特别地，本题核心结论可直接改写为关于正切函数的万能公式变体： $(1+\tan \alpha {)}^2={\sec }^2\alpha (1+\sin 2\alpha )$ 该结构在高等数学求不定积分 $\int (1+\tan x{)}^2\text{d}x$ 以及利用万能代换处理三角有理分式积分时，具有极其高频的化简实用价值。

🔗【关联脉络】

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