1993-新高考理-08 单-三角恒等变形求值

本题导读

本题考查诱导公式，以及两角和与差的余弦公式。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） $\sin 20^{\circ }\cos 70^{\circ }+\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }$ 的值是 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 观察已知式子中的角度（ $20^{\circ },70^{\circ },10^{\circ },50^{\circ }$ ），均非特殊角。优先使用诱导公式进行角度转化。例如利用 $\cos 70^{\circ }=\sin 20^{\circ }$，可将前半部分凑成平方项；或利用余角关系将所有正弦转化为余弦，寻找两角和差公式的结构特征。
2. 第二步： 将式子统一角度后，利用二倍角公式或积化和差/和差化积等三角恒等变换工具进行消项或合并，最终转化为特殊角的三角函数值进行求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用诱导公式与两角和的余弦公式（推荐） 根据诱导公式 $\cos \theta =\sin (90^{\circ }-\theta )$ 和 $\sin \theta =\cos (90^{\circ }-\theta )$，有： $\cos 70^{\circ }=\sin 20^{\circ }$ $\sin 10^{\circ }=\cos 80^{\circ }$ $\sin 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }$ 将上述关系代入原式得： $\text{原式}=\sin 20^{\circ }\sin 20^{\circ }+\cos 80^{\circ }\cos 40^{\circ }={\sin }^{2}20^{\circ }+\cos 80^{\circ }\cos 40^{\circ }$ 利用降幂公式 ${\sin }^{2}20^{\circ }=\frac{1-\cos 40^{\circ }}{2}$，以及两角和的余弦公式逆用： 将 $\cos 80^{\circ }$ 变形为 $\cos (120^{\circ }-40^{\circ })$ 或利用积化和差公式展开 $\cos 80^{\circ }\cos 40^{\circ }$： $\cos 80^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{2}[\cos (80^{\circ }+40^{\circ })+\cos (80^{\circ }-40^{\circ })]=\frac{1}{2}[\cos 120^{\circ }+\cos 40^{\circ }]$ 已知 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，代入得： $\cos 80^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos 40^{\circ }\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 40^{\circ }$ 把两部分合并： $\text{原式}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 40^{\circ }\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 40^{\circ }\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ 故正确答案为：A

方法二：纯粹角度凑配法 观察 $20^{\circ },70^{\circ },10^{\circ },50^{\circ }$ 之间的数量关系，注意到 $20^{\circ }=30^{\circ }-10^{\circ }$，$50^{\circ }=30^{\circ }+20^{\circ }$ 等。 根据诱导公式，原式可变为： $\text{原式}=\sin 20^{\circ }\sin 20^{\circ }+\sin 10^{\circ }\cos 40^{\circ }={\sin }^{2}20^{\circ }+\sin 10^{\circ }(1-2{\sin }^{2}20^{\circ })$ 此类凑配利用积化和差公式最为直接： $\sin 20^{\circ }\cos 70^{\circ }=\frac{1}{2}[\sin (20^{\circ }+70^{\circ })+\sin (20^{\circ }-70^{\circ })]=\frac{1}{2}[\sin 90^{\circ }+\sin (-50^{\circ })]=\frac{1}{2}[1-\sin 50^{\circ }]$ $\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }=-\frac{1}{2}[\cos (10^{\circ }+50^{\circ })-\cos (10^{\circ }-50^{\circ })]=-\frac{1}{2}[\cos 60^{\circ }-\cos (-40^{\circ })]=-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-\cos 40^{\circ }\right]=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 40^{\circ }$ 由于 $\cos 40^{\circ }=\sin 50^{\circ }$，将两部分相加： $\text{原式}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin 50^{\circ }\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sin 50^{\circ }\right)=\frac{1}{4}$ 故正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 三角函数的互余诱导公式 $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ 与和差化积/积化和差思维的交融。
2. 核心方法： 三角恒等变换的核心是“变角、变名、变结构”。当看到非特殊角相乘时，优先考虑积化和差公式，它可以快速将乘积结构转化为加减结构，从而实现正负项相消。
3. 避坑指南： - 避免盲目展开。如直接将 $\sin 50^{\circ }$ 拆成 $\sin (30^{\circ }+20^{\circ })$ 展开，极易导致项数成倍增加，增大运算量。
   • 符号问题。在应用积化和差或诱导公式时，如 $\sin (-50^{\circ })=-\sin 50^{\circ }$，负号切勿漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于经典的三角求值“消项”模型。通过互余角度的特殊关系，使得中间含有非特殊角（如 $40^{\circ }$ 或 $50^{\circ }$）的项在合并时系数符号相反，完美对消。
2. 结论推广（积化和差核心公式储备）： $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$ $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$ 掌握积化和差公式可以在高考遭遇复杂的非特殊角三角填空选择题时，实现逻辑清晰的直接推导，避免无效的拼凑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-上海理-01 解-分式的通分与约分
• 1977-山西-05 解-三角恒等式证明
• 1977-广西理-03 解-诱导公式求值