1993-新高考理-05 单-幂函数的单调性与奇偶性

本题导读

本题考查幂函数的图象与性质，以及函数的奇偶性定义。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） $y=x^{\frac{3}{5}}$ 在 $[-1,1]$ 上是 ()

A. 增函数且是奇函数　　　　　　　　　　　B. 增函数且是偶函数 C. 减函数且是奇函数　　　　　　　　　　　D. 减函数且是偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（单调性）： 观察幂函数 $f(x)=x^{\frac{3}{5}}$ 的指数 $\alpha =\frac{3}{5}$。因为 $\alpha >0$，根据幂函数的单调性规律，当指数大于0时，函数在第一象限 $(0,+\infty )$ 内单调递增，结合其在原点有定义，可进一步推导整体区间的单调性。
2. 第二步逻辑（奇偶性）： 根据函数奇偶性的定义，计算 $f(-x)=(-x{)}^{\frac{3}{5}}$。利用分数指数幂的性质将其变形，判定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的正负对应关系，从而确定其为奇函数还是偶函数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $f(x)=x^{\frac{3}{5}}$，其定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。

1. 奇偶性判定： $f(-x)=(-x{)}^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{(-x{)}^3}=\sqrt[5]{-x^3}=-\sqrt[5]{x^3}=-x^{\frac{3}{5}}=-f(x)$ 因为 $f(-x)=-f(x)$，所以该函数为奇函数。

2. 单调性判定： 由于该函数的指数 $\alpha =\frac{3}{5}>0$， 根据幂函数的性质， $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。 又因为 $f(x)$ 是奇函数，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上也单调递增。 综合可得， $f(x)=x^{\frac{3}{5}}$ 在整个定义域 $\mathbf{R}$ 上都是增函数，当然在区间 $[-1,1]$ 上也是增函数。

综上所述，该函数在 $[-1,1]$ 上是增函数且是奇函数。 故正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 幂函数 $y=x^{\alpha }$ 的基本性质：
   • 当 $\alpha >0$ 时，图象过 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，在 $[0,+\infty )$ 上单调递增；
   • 当 $\alpha =\frac{m}{n}$（$m,n$ 为互质的正整数）时，若 $m,n$ 皆为奇数，则函数为奇函数。
2. 核心方法： 奇偶性优先法。在面对单调性与奇偶性双重判定时，先判定奇偶性往往可以利用“奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反”的结论来简化单调性的分析。
3. 避坑指南： - 避免将分数指数幂的化简搞错，特别是根式开放时负号的提取。
   • 注意区分 $\alpha >1$ 与 $0<\alpha <1$ 的图象凹凸性差异，虽然两者的单调性都是递增，但本题不考查导数及凹凸性，仅需判定增减即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高考对基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数）性质考查的常规题型，重在基础概念的辨析。
2. 结论推广： 对于任意形如 $f(x)=x^{\frac{2k+1}{2n+1}}(k,n\in \mathbf{Z})$ 的幂函数，由于分子和分母均为奇数，这类函数在整个定义域 $\mathbf{R}$ 上都是奇函数。若该指数大于 0，则它在 $\mathbf{R}$ 上恒为增函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性