1993-新高考理-01 单-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的周期性，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 函数 $f(x)=\sin x+\cos x$ 的最小正周期是 ()

A. $2\pi$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}\pi$　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　　D. $\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 观察已知函数 $f(x)=\sin x+\cos x$，通过辅助角公式将其化简为 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式。
2. 第二步： 识别出函数的角速度 $\omega$，利用正弦型函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 直接计算出最小正周期。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：利用辅助角公式对函数进行化简： $f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{1^2+1^2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 此时，该函数的自变量系数（角速度） $\omega =1$。 根据正弦型函数的周期公式，其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$ 故正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$（其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$）的灵活运用。
2. 核心方法： 正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的最小正周期公式为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，周期的长短仅与 $x$ 的系数 $\omega$ 有关，与振幅 $A$ 和初相 $\phi$ 无关。
3. 避坑指南： 部分学生容易将系数 $\sqrt{2}$ 误认为与周期有关，或盲目猜测周期为 $\pi$。必须牢记只有形如 ${\sin }^{2}x$、${\cos }^{2}x$ 或 $|\sin x|$ 等特殊结构的最小正周期才为 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高考中最为经典的三角恒等变换与性质考查的基础题，通常作为全卷的第一题，旨在稳定考生情绪，考查对教材基本公式的掌握。
2. 结论推广： - 对于更一般形式的函数 $f(x)=a\sin \omega x+b\cos \omega x$（$a,b$ 不同时为0，$\omega \ne 0$），通过辅助角公式均可化为 $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )$，其最小正周期恒为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$
   • 若引入绝对值，如 $f(x)=|\sin x|+|\cos x|$，其图象的对称性与周期性会发生改变，其最小正周期将缩短为 $\frac{\pi }{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 1981-全国文-04 解-正弦型函数的最值
• 1987-全国文-09 填-三角函数的周期