1993-上海-12 单-二项式展开中系数最大的项

本题导读

本题考查二项式展开中系数最大的项，以及二项式系数的对称性。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） $(x-1{)}^9$ 按 $x$ 降幂排列的展开式中，系数最大的项是 ()

A. 第4项和第5项　　B. 第5项　　C. 第5项和第6项　　D. 第6项

🔍【思路分析】

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$(x-1{)}^9$ 展开式中二项式系数 $C_9^k$ 在 $k=4,5$ 处最大，对应第 5、6 项，但符号交错后系数最大为第 5 项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$(x-1{)}^9={\sum }_{k=0}^9{C}_9^k{x}^k(-1{)}^{9-k}$ 按 $x$ 降幂排列。二项式系数 $C_9^k$ 在 $k=4,5$ 处最大（$C_9^4=C_9^5=126$）。第 $5$ 项是 $x^5$ 项，系数 $C_9^5(-1{)}^{9-5}=C_9^5(-1{)}^4=126$；第 $6$ 项是 $x^4$ 项，系数 $C_9^4(-1{)}^{9-4}=C_9^4(-1{)}^5=-126$。故系数最大的项是第 5 项（$126x^5$），选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开中系数最大的项

核心方法：$(x-1{)}^9$ 系数最大项为第 5 项（$C_9^4$ 最大）

避坑指南：二项式系数中间项最大

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式定理

结论推广：$(x-1{)}^9$ 中间项系数最大

方法推广：二项式系数 $C_n^{\lfloor n/2\rfloor }$ 最大

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1994-上海-08 填-二项式展开的指定项系数
• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数
• 1993-旧高考文-15 单-二项式展开的有理项