1992-全国卷理-23 填-等差与等比数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等比中项的性质。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)）已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq = 0$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列，则 $\frac{a _{1} + a _{3} + a _{9}}{a _{2} + a _{4} + a _{10}}$ 的值是.

🔍【思路分析】

破题导航

转化等比性质：已知 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列，根据等比中项性质有 $a_{3}^{2} = a_{1} \cdot a_{9}$ 。

基本量展开求比例：利用等差数列通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，将上述方程转化为关于 $a_{1}$ 和 $d$ 的代数式： $(a_{1} + 2 d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 8 d)$ 。化简求出 $a_{1}$ 与 $d$ 的对应关系。

目标分式化简：将目标分式的分子与分母各项分别用 $a_{1}$ 和 $d$ 展开，观察分子与分母中各因式的脚码规律（平移特性），统一用 $d$ 替代后约分算出常数值。

✅【答案】

Success

$\frac{13}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ( $d \neq = 0$ )。

根据等差数列的通项公式，各项可表示为： $a_{3} = a_{1} + 2 d, a_{9} = a_{1} + 8 d$

因为 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列，由等比中项的性质得： $a_{3}^{2} = a_{1} \cdot a_{9}$

将基本量表达式代入上式： $(a_{1} + 2 d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 8 d)$

展开并整理方程： $a_{1}^{2} + 4 a_{1} d + 4 d^{2} = a_{1}^{2} + 8 a_{1} d$ $4 d^{2} = 4 a_{1} d$

因为公差 $d \neq = 0$ ，方程两边同时除以 $4 d$ ，可得首项与公差的完美不变量关系： $a_{1} = d$

接下来化简目标求值分式。将分子、分母的各项均用 $a_{1}$ 和 $d$ 展开：

分子： $a_{1} + a_{3} + a_{9} = a_{1} + (a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 8 d) = 3 a_{1} + 10 d$

分母： $a_{2} + a_{4} + a_{10} = (a_{1} + d) + (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 9 d) = 3 a_{1} + 13 d$

将 $a_{1} = d$ 代入分子与分母中：

分子 $= 3 d + 10 d = 13 d$

分母 $= 3 d + 13 d = 16 d$

所以，目标分式的值为： $\frac{a _{1} + a _{3} + a _{9}}{a _{2} + a _{4} + a _{10}} = \frac{13 d}{16 d} = \frac{13}{16}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项公式 $b^{2} = a c$ ，等差通项的代数展开与约分。

核心方法：

基本量换元法：将所有未知项回归到 $a_{1}$ 和 $d$ 求解。

特殊值法技巧）：由于本题是填空题且结果为定值，在求得 $a_{1} = d$ 后，可直接赋予特值：令 $a_{1} = 1, d = 1$ 。此时等差数列变为正整数列： $a_{n} = n$ 。代入目标式直接口算： $\frac{1 + 3 + 9}{2 + 4 + 10} = \frac{13}{16}$ ，实现 10 秒快速。

避坑指南：

展开 $(a_{1} + 2 d)^{2}$ 时注意不要漏掉中间项 $4 a_{1} d$ 。

几何性质观察法：仔细观察分母的每一项： $a_{2} = a_{1} + d$ , $a_{4} = a_{3} + d$ , $a_{10} = a_{9} + d$ 。所以，分母 $= (a_{1} + a_{3} + a_{9}) + 3 d$ 。利用这一规律，目标式可变形为 $\frac{分子}{分子 + 3 d}$ 。代入分子 $= 13 d$ 即可得到 $\frac{13 d}{13 d + 3 d} = \frac{13}{16}$ 。这样能有效避免将分母六项全部拆开的冗长运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于数列综合板块的传统经典填空题。直接取材于高二数列一章中关于“等差与等比性质交织应用”的课后综合提能训练。

结论推广：若等差数列公差 $d \neq = 0$ ，且 $a_{1}, a_{m + 1}, a_{n + 1}$ 成等比数列，利用等比中项展开 $(a_{1} + m d)^{2} = a_{1} (a_{1} + n d) ⟹ a_{1}^{2} + 2 m a_{1} d + m^{2} d^{2} = a_{1}^{2} + n a_{1} d ⟹ a_{1} = \frac{m ^{2}}{n - 2 m} d$ 。本题中 $m = 2, n = 8$ ，代入推广公式得 $a_{1} = \frac{2 ^{2}}{8 - 2 ( 2 )} d = \frac{4}{4} d = d$ ，该比例模型对后续所有复杂多项式的化简具有通适性。

🔗【关联脉络】

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1993-新高考文-15 单-等比数列两项和的大小比较

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