1992-全国卷理-09 单-四棱锥的线面垂直

本题导读

本题考查四棱锥的几何结构特征，以及线面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ()

A. 1 个　　　　　　　B. 2 个　　　　　　　C. 3 个　　　　　　　D. 4 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造特例模型：考虑从一个标准的长方体中截取出一个特殊的四棱锥。
2. 设定垂直侧棱：假设四棱锥的底面 $ABCD$ 为矩形（或正方形），且有一条侧棱（例如 $SA$）垂直于底面 $ABCD$。
3. 判定各侧面形状：
   • 包含垂直棱的两个侧面 $△SAB$ 和 $△SAD$ 是直角三角形。
   • 借助线面垂直的性质定理和三垂线定理，分析另外两个侧面 $△SBC$ 和 $△SDC$ 是否也为直角三角形。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 我们可以通过构造一个特殊的四棱锥模型来证明 4 个侧面可以全部为直角三角形。

设四棱锥为 $S-ABCD$，其中：

1. 底面 $ABCD$ 是一个矩形，则有 $AB\perp BC$， $AD\perp CD$。
2. 侧棱 $SA\perp$ 平面 $ABCD$。

接下来对 4 个侧面三角形的形状逐一进行判定：

• 侧面 $△SAB$ 和 $△SAD$： 因为 $SA\perp$ 平面 $ABCD$，且 $AB,AD$ 均在底面内， 所以 $SA\perp AB$， $SA\perp AD$。 即 $△SAB$（$\angle SAB=90^{\circ }$）和 $△SAD$（$\angle SAD=90^{\circ }$）均为直角三角形。

• 侧面 $△SBC$： 因为 $SA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $AB$ 是侧棱 $SB$ 在底面 $ABCD$ 上的射影。 在矩形底面中， $BC\perp AB$。 根据三垂线定理（或线面垂直判定：$BC\perp AB$ 且 $BC\perp SA⟹BC\perp$ 平面 $SAB$）， 可导得 $BC\perp SB$。 即 $△SBC$（$\angle SBC=90^{\circ }$）是一个直角三角形。

• 侧面 $△SDC$： 同理， $AD$ 是侧棱 $SD$ 在底面 $ABCD$ 上的射影。 在矩形底面中， $CD\perp AD$。 根据三垂线定理，可导得 $CD\perp SD$。 即 $△SDC$（$\angle SDC=90^{\circ }$）也是一个直角三角形。

综上所述，构造的这个四棱锥的四个侧面 $△SAB$、$△SAD$、$△SBC$、$△SDC$ 全部都是直角三角形。由于四棱锥总共只有 4 个侧面，因此最多可有 4 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的定义、性质与三垂线定理的综合应用。
2. 核心方法：特殊模型构造法。在立体几何选择题中，长方体、正方体是极佳的“万能”背景模型。将其一条侧棱视作高，矩形底面视作投影面，能高效直观地解决许多关于垂直、角度、最值数量的定性判断。
3. 避坑指南：空间想象力不足的考生容易凭直觉认为，当一侧倾斜后另一侧就不可能再保持直角，从而错选 B 或 C。务必熟练掌握三垂线定理的内涵（“平面内的一条直线，如果与斜线在平面内的射影垂直，则它也与斜线垂直”）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何性质的经典定性辨析题。取材于高中立体几何教材中关于“直线与平面垂直的性质及三垂线定理”的课后经典思考题。
2. 结论推广：
   • 对于三棱锥（四面体），其四个面（1个底面+3个侧面）中，直角三角形最多也可以有 4 个（此时称为东北四面体或每条相对棱都垂直的直角角锥）。
   • 本题结论可推广为：当一个 $n$ 棱锥的一条侧棱垂直于底面，且底面为矩形（对于四棱锥）或满足特定垂直关系的邻边时，其侧面中直角三角形的数量可以达到最大值 $n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-09 单-四棱锥的直角三角形侧面

• 1995-上海文-23 解-四棱锥的体积与二面角

• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积